高考数学一轮复习-42-同角三角函数基本关系式与诱导公式课件-新人教A

课堂总结第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式．课堂总结1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________．(2)商数关系：________________．知识梳理sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα课堂总结2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα______________________________余弦cosα_________________________________正切tanα_____________________口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限π2－απ2＋α－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanαcosαcosα－sinαsinα课堂总结诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．()(4)若α≠kπ＋π2(k∈Z)，则cos2α＝11＋tan2α.()×√√√课堂总结答案B2．tan300°＋sin450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋1＝1－3.课堂总结3．(2015·广州调研)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25解析∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.故选C.答案C课堂总结4．已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则tan(2π－α)的值为()A．－255B.255C．±255D.52解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，又因为α∈－π2，0，则cosα＝1－sin2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.答案B课堂总结5．(人教A必修4P22B3改编)已知tanθ＝2，则sinθcosθ＝________．解析sinθcosθ＝sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝222＋1＝25.答案25课堂总结考点一同角三角函数基本关系式及应用【例1】(1)已知tanα＝2，则2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝__________________.(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43B.54C．－34D.45课堂总结答案(1)－1(2)D解析(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.课堂总结规律方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．课堂总结【训练1】若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D．－2解析3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－13，1cos2α＋2sinαcosα＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝1＋－1321－23＝103.答案A课堂总结【例2】(1)(2014·山东省实验中学诊断)已知sinθ·cosθ＝18，且π4＜θ＜π2，则cosθ－sinθ的值为________．(2)已知－π2＜α＜0，sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α的值为()A.75B.725C.257D.2425解析(1)当π4＜θ＜π2时，sinθ＞cosθ，∴cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－14＝34，∴cosθ－sinθ＝－32.课堂总结深度思考第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sinα与cosα；其二求cosα－sinα；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sinα与cosα.(2)法一联立sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得，sinα＝15－cosα，将其代入②，整理得25cos2α－5cosα－12＝0.因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－35，cosα＝45，于是1cos2α－sin2α＝1452－－352＝257.课堂总结法二因为sinα＋cosα＝15，所以(sinα＋cosα)2＝152，可得2sinαcosα＝－2425.而(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋2425＝4925，又－π2＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＝75.于是1cos2α－sin2α＝1（cosα＋sinα）（cosα－sinα）＝257.答案(1)－32(2)C课堂总结规律方法求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用．课堂总结【训练2】已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1解析法一由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即2cosα＋12＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.课堂总结法二因为sinα－cosα＝2，所以2sinα－π4＝2，所以sinα－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.法三因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.答案A课堂总结考点二利用诱导公式化简三角函数式【例3】(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________．课堂总结解析(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.课堂总结(2)∵f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.答案(1)1(2)3课堂总结规律方法利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．课堂总结解析(1)原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＋tan1089°·tan540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＋tan9°·tan180°＝0＋0＝0.【训练3】(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________．(2)化简：tan（π－α）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－α－π）sin（－π－α）＝________．课堂总结答案(1)0(2)－1(2)原式＝－tanα·cosα·（－cosα）cos（π＋α）·（－sin（π＋α））＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.课堂总结考点三利用诱导公式求值【例4】(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝______．(2)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________．解析(1)∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴tan56π＋α＝－tanπ－56π＋α＝－tanπ6－α＝－33.答案(1)12(2)－33课堂总结规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．课堂总结【训练4】(1)已知sin7π12＋α＝23，则cosα－11π12＝________．(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________．解析(1)cosα－11π12＝cos11π12－α＝cosπ－π12＋α＝－cosπ12＋α，而sin7π12＋α＝sinπ2＋π12＋α＝cosπ12＋α＝23，所以cosα－11π12＝－23.课堂总结(2)因为tan(π＋α)＝tanα＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝12.答案(1)－23(2)12课堂总结[思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其