3高等数学课件(完整版)详细

一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f)1()2()3(例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf几何解释:ab12xyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf,0)()(fxf,0x若;0)()(xfxf则有,0x若;0)()(xfxf则有;0)()(lim)(0xfxffx;0)()(lim)(0xfxffx,)(存在f).()(ff.0)(f只有注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,];2,2[,xxy,,)0(]2,2[一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在f.0)(xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1fxxy].1,0[,xxy又例如,例1.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.为唯一实根二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),()(内可导在在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf例2).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf.0]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx例3.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfbFaFbfaf成立.几何解释:)(1F)(2Fxoy)()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.)),(),((ABfFCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧证作辅助函数)].()([)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,)(xxF当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf例4)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证分析:结论可变形为2)(01)0()1(fff.)()(2xxxf,)(2xxg设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(2)(01)0()1(fff)].0()1([2)(fff即四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上连续的条件；],[,1)(2baxxxf且0ab不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.一、填空题：1、函数4)(xxf在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.2、设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方程0)(xf有____________个根，它们分别在区间_____________上.3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________.4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的_______之间的关系.5、如果函数)(xf在区间I上的导数__________，那么)(xf在区间I上是一个常数.练习题二、试证明对函数rqxpxy2应用拉氏中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.三、证明等式21arctan1arcsin22xxx))1,0((x.四、设0ba，1n，证明)()(11banababanbnnnn.五、证明下列不等式：1、babaarctanarctan；2、时当1x，exex.六、证明方程015xx只有一个正根.七、设函数)(xfy在0x的某邻域内且有n阶导数，且)0()0()0()1(nfff试用柯西中值定理证明：!)()()(nxfxxfnn，（10）.八、设)(xf在[ba,]内上连续，在(ba,)内可导，若ba0,则在(ba,)内存在一点，使))](()([)()(baffabfbaf].洛必达法则型未定式解法型及一、:00定义.00)()(lim,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当xFxfxFxfxaxxax例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..,,,该法则仍然成立时以及时当xaxx证定义辅助函数,,0),()(1axaxxfxf,,0),()(1axaxxFxF,),(0xaU内任取一点在,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)(之间与在ax,,aax时当,)()(limAxFxfax,)()(limAFfa.)()(lim)()(limAFfxFxfaax例1解.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1例2解.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(例3解.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.1例4解.sinlnsinlnlim0bxaxx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式.1)00()(axbxxcoscoslim0例5解.3tantanlim2xxx求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3)(注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解.tantanlim20xxxxx求30tanlimxxxx原式xxxx6tansec2lim2022031seclimxxxxxxtanlim310.31型未定式解法二、00,1,0,,0例7解.lim2xxex求)0(xexx2lim原式2limxxe2limxxe.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(型0.1步骤:,10.0100或例8解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:步骤:型00,1,0.3ln01ln0ln01000取对数.0例9解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式x