方差

随机变量的数字特征第二节方差一、方差的概念1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度的量.实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.OxOx10001000随机变量的期望是对随机变量取值水平的综合评价.而随机变量取值的稳定性则是判定随机现象的另一重要特征.一、方差的概念12,,,,nxxxx对于一组给定的数值：设其平均值为如何反映该组数值整体的离散程度呢？ixx离差个体取值与均值间的差称为，显然离差可以反映个体与均值的差异.但是121()()()()0ninixxxxxxxx1,niixx虽可避免正负抵消，但运算不方便.一、方差的概念于是引入加权平均算法，利用离差平方大小的平均值，衡量整体离散程度.21niiixxf（）取值的平均离散程度将上述方法应用于随机变量，则得到了反映随机变量平均离散程度的数字特征——方差的定义.1212,,,,,,nnxxxmfff一般的，对于给定的一组数值在次观测中出现的频率为一、方差的概念2.方差的定义注意：222[()][(()())]XEXEXEXEXDXVarXEXEXX设为随机变量,若存在，则称为随机变量的方差，记作().DXX称为标准差或均方差,记作2()EXEX数学期方差可能不存在方差实，若存为离差在必为平的望方.非负值.()0XEXXEEX称为，显然离差3.方差的意义一、方差的概念DXXDXXEXDXXEX方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.如果值大，表示取值分散程度较大，的代表性差；反之值小，则表明取值比较集中，以作为随机变量的代表性较好.()()DXXXEXXX与均反映与的偏离程度，但由于与有相同的量纲，实际中比较多用.0,1DXX若则说明随机变量以概率取常数.4.方差的计算(1)利用定义计算（随机变量函数期望的计算）一、方差的概念21(),(1,2)kkkkkXPXxpkDXxEXp离散型随机变量的分布律2)()()(DXxEXfxxdXfx连续型随机变量的概率密度函数为2()DXEXEX.)]([)()(22XEXEXD2()()DXEXEX22[2()]EXXEXEX222()EXEXEXEX22)]([)(XEXE(2)利用公式计算一、方差的概念一、方差的概念2340.30.40.31.XXPDX设随机变量的概率分布为求例：20.330.440.33EX解：2222()20.330.440.39.6EX22()()9.690.6DXEXEX一、方差的概念01arcsin1()112121.xxXFxxxDX设随机变量求：例2111()()10xfxFxx其它解：121()01xEXxfxdxdxx一、方差的概念22112222102()11xxEXxfxdxdxdxxx2222002sincos2sin,cossincosttxtdxtdtdttdtt22001111(1cos2)(sin2)22tdttt221()2DXEXEX一、方差的概念-10(1,2),00,.103XXUYXDYX求：例设1123(1,2)()0xXUfx其：它解00111(1)(0)()33PYPXfxdxdx(0)(0)0PYPX2(1)(0)1(0)3PYPXPX一、方差的概念311211001333iiiEYyp322222112(1)001133iiiEYyp228()9DYEYEY1(1)3PY(0)0PY2(1)3PY解).()(),cos(,0,2π0,2π0),sin(21),(),(ZDZEYXZyxyxyxfYX和求且其他函数为的联合密度设二维连续型随机变量yxyxfyxZEdd),()cos()(yxyxyxdd)sin()cos(212π02π02π0d)]2πcos(2[cos21xxx,0例4一、方差的概念)()(2ZEZDyxyxyxdd)sin()(cos212π02π022π033d2πcoscos61xxx.92一、方差的概念练习题1.设离散型随机变量X的分布列为10120.30.10.20.4求DX.2.设2,01()0,axbxcxXfx其他且EX=0.5，DX=0.15，求a,b,c.习题答案1.解：222222210.300.110.220.40.7(1)0.300.110.220.42.1()2.10.491.61EXEXDXEXEX2.解：由12011()1,132axbxcdxabc得120111()0.5,0.5432EXxaxbxcdxabc得22()0.150.250.4EXDXEX12220111()0.4,0.4543EXxaxbxcdxabc得解得a=12，b=-12,c=3二、方差的性质证明22)]([)()(CECECD(1)设C是常数,则有.0)(CD22CC.0(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(2XDCCXD证明)(CXD})]({[22XEXEC).(2XDC})]({[2CXECXE二、方差的性质).()()(YDXDYXD(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明})](){[()(2YXEYXEYXD2)]}([)]({[YEYXEXE22[()][()]2{[()][()]}EXEXEYEYEXEXYEY()()().DXYDXDY2{[()][()]}2()EXEXYEYEXYXEYYEXEXEY2[()]2[()]EXYEXEYEYEXEXEYEXYEXEY,()XYEXYEXEY由相互独立二、方差的性质11212,,()nnnXXDXXXDXDXDX推广：若相互独立，则11nniiiiDXDX211nniiiiiiDCXCDX二、方差的性质21()15,iniinXNnXXn设在相同条件下独立的对某物体的长度进行了次测量，设每次测量结果为，试计算次测量的平均长度的期望例和方差.11niiEXEXn11niiEXn11niiEXn1nn11niiDXDXn211niiDXn211niiDXn2221nnn22(,),iiiXNEXDX解：二、方差的性质nn上式表明，次测量结果平均值的数学期望恰好也是长度，而次测量结果平均值所产生的误差比一次测量结果的误差小.因此在实际中常常利用这种方式减少误差.n个正态变量经线性运算结果仍为提示：正态变量11()niiXXn线性运算2,EXDXn22(,),(,)iXNXNn则二、方差的性质在概率统计中，常对随机变量“标准化”，即对，若EX，DX存在，且DX0，则称x*XEXXDX为X的标准化随机变量.易见，为无量纲随机变量，且*X**0,1EXDX—标准化随机变量的特征特殊地，若则2(,),XN*(0,1)XXN例如,则Z=2X-3Y也服从正态分布，且E(Z)=-4，D(X)=48，故Z~N(-4,48).二、方差的性质三、几种常见分布的方差1.单点分布,0EXECCDXDC2.两点分布(1,)XBpEXp22201EXqpp222()DXEXEXpppq(1,),XBpDXpq三、几种常见分布的方差3.二项分布(,)XBnp分析：利用二项分布与两点分布的关系1(1,)0iiiAXXBpiA第次贝努利试验事件发生设第次贝努利试验事件不发生121,(,)niniXXXXXXBnp显然，且1niiDXDX(,),XBnpDXnpq1niiDXnpq220!kkEXkek11(1)!kkkek01(1)!tttktet00!!ttttteett(),XPDx三、几种常见分布的方差4.泊松分布()XP2(1)2222()DXEXEX三、几种常见分布的方差5.均匀分布(,)XUab1,()0,axbfxba其他221baEXxdxba322133baxbababa2()(,),12baXUabDX22()DXEXEX2222()()3412babaabba6.指数分布()XE,0()0,0xexfxx2220()xEXxfxdxxedx20()xxde2200xxxeedx三、几种常见分布的方差02xxedx02xxedx222EX22()DXEXEX22221121(),XEDX7.正态分布2(,)XN三、几种常见分布的方差2,EXDX22()21()2xfxe22()22221()2xEXxfxdxxedx(),xtxtdxdt三、几种常见分布的方差222()2222211()22xtEXxedxtedt2222222221121222ttttedtetedtdt222222ttedt222222()2ttteedt22222()EDXEXEXX22222ttde222212tedt三、几种常见分布的方差10pp)1(pp1,01npnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab121分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ常见分布的期望与方差0定义设X是随机变量，若可见，均值EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶中心矩.四、原点矩和中心矩存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩，记为存在，称它为X的k阶中心矩，记为四、原点矩和中心矩原点矩：1,(),kiiikkxpXvxfxdxX为离散型为连续型中心矩：1(),()(),kiiikkxEXpXxEXfxdxX为离散型为连续型随堂练习参考答案