顶角为20度的等腰三角形难题

顶角为20度的等腰三角形难题例1.在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.