信号与系统总结6

第六章离散系统Z域分析1第六章离散系统z域分析6.1z变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2z变换的性质6.3逆z变换6.4z域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、利用z变换求卷积和四、s域与z域的关系五、离散系统的频率响应第六章离散系统z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。6.1z变换一、从拉氏变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:kTSkTtkTfttftf)()()()()(取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得kkTsSbkTfsFe)()(令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得kkzkfzF)()(称为序列f(k)的双边z变换0)()(kkzkfzF称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)第六章离散系统Z域分析2二、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即kkzkf)(时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足kkzkf)(所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。例1求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)↓k=0(2)f2(k)={1,2,3,2,1}解(1)1)()()(1kkkkzkzkzF可见，其单边、双边z变换相等。与z无关，所以其收敛域为整个z平面。(2)f2(k)的双边z变换为F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2收敛域为0z∞f2(k)的单边z变换为2102223)()(zzzkfzFkk收敛域为z0对有限序列的z变换的收敛域一般为0z∞，有时它在0或/和∞也收敛。例2求因果序列0,0,0)()(kakkakfkky的z变换（式中a为常数）。解：代入定义1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见，仅当az-11，即za=时，其z变换存在。azzzFy)(Re[z]jIm[z]|a|o收敛域为|z||a|第六章离散系统Z域分析3例3求反因果序列的z变换。解)1(0,00,)(kbkkbkfkkfzbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，bzzzFf)(收敛域为|z||b||b|Re[z]jIm[z]o例4双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解0,0,kakbkk的z变换。azzbzzzFzFzFfy)()()(可见，其收敛域为azb（显然要求ab，否则无共同收敛域)o|a||b|Re[z]jIm[z]序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例f1(k)=2k(k)←→F1(z)=2zz,z2f2(k)=–2k(–k–1)←→F2(z)=2zz,z2对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。常用序列的z变换：(k)←→1，z0(k)1zz，z1，z1–(–k–1)第六章离散系统Z域分析4一、线性6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。若f1(k)←→F1(z)1z1,f2(k)←→F2(k)2z2对任意常数a1、a2，则a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z))与F2(z)收敛域的相交部分。例：2(k)+3(k)←→2+13zz，z1二、移位（移序）特性单边、双边差别大！双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),z，且对整数m0，则f(km)←→zmF(z),z证明：Z[f(k+m)]=)()()(zFzzznfzmkfmnmnmknkk单边z变换的移位：若f(k)←→F(z),|z|，且有整数m0,则f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-110)()()(mkkmzmkfzFzmkff(k+1)←→zF(z)–f(0)zf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z10)()()(mkkmmzkfzFzmkf证明：Z[f(k–m)]=mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二项令k–m=n)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例：若f(k)为因果序列，则f(k–m)←→z-mF(z)第六章离散系统Z域分析5例1：求周期为N的有始周期性单位序列0)(mmNk的z变换。111)(00NNNmmNmzzzzmNk解z1例2：求f(k)=kε(k)的单边z变换F(z).解f(k+1)=(k+1)ε(k+1)=(k+1)ε(k)=f(k)+ε(k)zF(z)–zf(0)=F(z)+1zzF(z)=2)1(zz三、序列乘ak(z域尺度变换)若f(k)←→F(z),z，且有常数a0则akf(k)←→F(z/a),aza证明：Z[akf(k)]=)()()(azFazkfzkfakkkkk例1：akε(k)←→azz例2：cos(k)ε(k)←→?cos(k)ε(k)=0.5(ejk+e-jk)ε(k)←→jje5.0e5.0zzzz四、卷积定理若f1(k)←→F1(z)1z1,f2(k)←→F2(z)2z2则f1(k)*f2(k)←→F1(z)F2(z)对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。例：求f(k)=kε(k)的z变换F(z).解：f(k)=kε(k)=ε(k)*ε(k-1)21)1(11zzzzzzz第六章离散系统Z域分析6五、序列乘k（z域微分）若f(k)←→F(z),z则)(dd)(zFzzkkf,z例：求f(k)=kε(k)的z变换F(z).解：1)(zzk22)1()1()1(1dd)(zzzzzzzzzzkk六、序列除(k+m)(z域积分）若f(k)←→F(z),z，设有整数m，且k+m0，则zmmdFzmkkf1)()(,z若m=0,且k0，则zdFkkf)()(例：求序列的z变换。)(11kk解1)(zzk)1ln()1ln()111()1()(112zzzzdzdzkkzzz七、k域反转(仅适用双边z变换）若f(k)←→F(z),z则f(–k)←→F(z-1),1/z1/例：已知azzkak)(，|z|a求a–k(–k–1)的z变换。解11)1(11zazzzkakazkak111)1(，|z|a，|z|1/a乘a得azakak1)1(，|z|1/a第六章离散系统Z域分析7八、部分和若f(k)←→F(z),z，则)(1)(zFzzifki,max(,1)z证明)(1)()()()(*)(zFzzifikifkkfkii例：求序列(a为实数)(k≥0)的z变换。kiia0解azzzziaakiikii1)(0，|z|max(|a|,1)九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。初值定理：如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k)←→F(z)，z∞则序列的初值)(lim)(zFzMfmz对因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz证明：...)2()1()()()()()2()1(MMMMkkkkzMfzMfzMfzkfzkfzF两边乘zM得zMF(z)=f(M)+f(M+1)z-1+f(M+2)z-2+…)(lim)(zFzMfmz第六章离散系统Z域分析8终值定理：终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为f(k)←→F(z)，z且01则序列的终值)()1(lim)(1lim)(lim)(11zFzzFzzkffzzk含单位圆6.3逆z变换求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等。一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)(–k–1)+f(k)(k)相应地，其z变换也分为两部分F(z)=F2(z)+F1(z)，|z|0)(kkzkf其中F1(z)=Z[f(k)(k)]=，|z|F2(z)=Z[f(k)(–k–1)]=1)(kkzkf，|z|当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得原序列f(k)。一、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。例：已知象函数2)2)(1()(222zzzzzzzF其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。（1）|z|2(2)|z|1(3)1|z|2第六章离散系统Z域分析9解（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：z2/(z2-z-2)=1+z-1+3z-2+5z-3+…f(k)={1，1，3，5，…}↑k=0（2）由于F(z)的收敛域为z1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数:z2/(–2–z–z2)=5432165834121zzzz10,21,41,83,165,0)(kkf(3)F(z)的收敛域为1z2，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有232131)(zzzzzF第一项属于因果序列的项函数F1(z)，第