信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题

连续时间LTI系统的响应1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应()()()zizsytytyt()()*()ziytftht二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatynnn数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。解:系统的特征方程为[例1]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。0652ss3221ss，ttxKKty3221ee)(0,e5e6)(32ttyttx系统的特征根为y(0)=yx(0)=K1+K2=1y'(0)=y'x(0)=2K13K2=3解得K1=6，K2=5[例2]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+4y'(t)+4y(t)=2f'(t)+3f(t),t0系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应yx(t)。解:系统的特征方程为0442ss221ssttxtKKty2221ee)(0,e3e2)(22tttyttx系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yx(0)=K1=2;y'(0)=y'x(0)=2K1+K2=-1解得K1=2,K2=3[例2-4-3]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0+)=1,y‘(0+)=2,输入信号f(t)=etu(t)，(1)求系统的零状态响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty0862ss4221ss，ttKKty4221hee)(特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Cet将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty解:(3)求方程的全解解得A=5/2，B=11/6tttBAtytytye31ee)()()(42ph131)0(BAy23142)0('BAy0,e31e611e25)(42ttyttt二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解系统的零状态响应yf(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。2.系统的零状态响应卷积法求解系统零状态响应yf(t)的思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应——冲激响应3)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf(t)。卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导)()(tht)()(tht)()()()(thftf由时不变特性由均匀特性由积分特性d)()()(tftfd)()()(thftyf)()(d)()()(thtfthftyf[例]已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2f(t)系统的冲激响应h(t)=2e3tu(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。d)()()()()(thfthtftyfd)(e2)(3=)(3tuut000d2e3=0)3(tttt解：000)e1(2=3ttt)()e12(=3tut