北京交通大学信号与系统第四章典型例题

第四章典型例题【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数。AT0T0t)(~tx2/O2/周期矩形信号分析：周期矩形信号)(~tx是实信号，其在一个周期[T0/2，T0/2]内的定义为2/02/)(~ttAtx满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。解：根据Fourier级数系数Cn的计算公式，有ttxTCtnTTnde)(~1000j2/2/0tATtnde10j2/2/02/2/j000e)j(tttnnTA2/)2/sin(00TnnA)2(Sa00nTA故周期矩形信号)(~tx的指数形式Fourier级数表示式为tnntnnnnTACtx00j00je)2(Sa)(e)(~利用欧拉公式2ee)cos(00jj0tntntn可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为tnnTATAtxn00010cos)2(Sa)2()(~结论：实偶对称的周期矩形信号)(~tx中只含有余弦信号分量。【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier级数。AA10.51t)(~tx0.522周期三角波信号分析：周期矩形信号)(~tx是实信号，其在一个周期[1/2，3/2]的表达式为2321)1(2212)(~ttAtAttx满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。解：由于该三角波信号)(~tx的周期T0=2，所以ππ200T。根据Fourier级数系数的计算公式，有ttxTCtnTTnde)(~1000j2/2/0ttAtAttntnde)1(221de221πj2/32/1πj2/12/1计算上式积分可得三角波信号的频谱Cn为0,00),2πsin(πj422nnnnACn所以周期三角波信号的Fourier级数表示式为tnnnnnAtxπj220,e)2πsin(πj4)(~利用欧拉公式j2ee)sin(00jj0tntntn可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为tnnnAtxnπsin)2πsin(π8)(~221ttttAπ7sin491π5sin251π3sin91πsinπ82结论：(1)实奇对称的周期三角波信号)(~tx中只含有正弦信号分量。(2)例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier级数tnnnCtx0je)(~表示，所不同的是两者的Fourier系数不同。因此，研究Fourier系数也可获得信号的某些特性。【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier系数的特性。AT0T0t)(~tx2/O2/(a)周期矩形信号AAT0T0/2T0t)(~txT0/2(b)周期三角波信号分析：首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系，即可得出相应信号Fourier系数的特性。解：(a)信号为实偶对称，满足)(~)(~txtx，故Fourier系数Cn实偶对称，其三角形式Fourier级数表示式中只含有直流项和余弦项。(b)信号既满足)(~)(~txtx，又满足)2/(~)(~0Ttxtx，为实奇对称半波镜像信号，其三角形式Fourier级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。结论：利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。【例4-1-4】判断下图所示周期信号)(~tx的Fourier系数的特性。A0.8A0.2AT0T0/2T0t)(~txT0/2分析：从信号)(~tx的波形来看，其不具有任何对称关系。在这种情况下可以去掉信号的直流分量，再观察波形的对称性。解：信号的直流分量为AttxTCT4.0d)(~10000)(~tx去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。0.6A0.6AT0T0/2T0t0)(~CtxT0/2O综合上面的分析，)(~tx的三角形式Fourier级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余弦）分量。结论：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。【例4-1-5】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~tx的Fourier级数表示式。)(~tx1212343214t0分析：周期信号)(~tx可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差，利用Fourier级数的线性特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。解：周期信号)(~tx可以看成下图所示直流分量)(~1tx和周期矩形信号)(~2tx之差，即)(~2)(~)(~)(~221txtxtxtx令例4-1-1中周期矩形信号的A=1，2，40T，可得)(~2tx的Fourier级数表示式为tnnTATAtxn000102cos)2(Sa)2()(~)2πcos()2π(Sa5.01tnnn因此)(~tx的Fourier级数表示式为)(~2)(~2txtx)2πcos()2π(Sa5.11tnnn)(~1tx121234324t0)(~2tx1212343A4t结论：利用常用周期信号的Fourier系数和Fourier级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier系数。【例4-1-6】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~tg的Fourier级数表示式。At221103)(~tg周期信号g(t)分析：周期信号)(~tg可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。解：周期信号)(~tg可以表示为)5.0(~)(~txtg。令例4-1-1中周期矩形信号的1，20T，0=2T0，可得)(~tx的Fourier系数为)2(Sa00nTACn)2π(Sa2nA令)(~tg的Fourier系数为Dn，利用Fourier级数的时移特性可得nnnCD05.0je2/πje)2π(Sa2nnA因此，周期信号)(~tg的Fourier级数表示式为ntnnCtg0je)(~tnnnnAπjπ/2jee)2/π(/2)Sa(tttAAπ5sin51π3sin31πsinπ22/0.510.512A2t)(~tx结论：)(~tg与)(~tx具有)5.0(~)(~txtg的关系，两者Fourier级数的模相等，即nnDC，但相位不同。这充分体现了周期信号Fourier级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时移对应其在频域的相移。【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号)(~tx的频谱。AT0T0t)(~tx2/O2/周期矩形信号分析：周期信号的Fourier系数就是该信号的频谱。解：由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号)(~tx的频谱为)2(Sa00nTACn，2,1,0n由于Cn为实数，因而各谐波分量的相位或为零(Cn为正)或为(Cn为负)，因此不需分别画出幅度频谱|Cn|与相位频谱n。可以直接画出Fourier系数Cn的分布图。根据抽样函数Sa(t)的曲线便可得信号)(~tx的频谱图。CnA/T00=2/T02/2/周期矩形信号的频谱结论：周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：(1)离散频谱特性：频谱是以基频0为间隔分布的离散频谱。由于谱线的间隔0=2/T0，故信号的周期T0越大，其基频0就越小，谱线越密。频谱都是由间隔为0的谱线组成的离散谱。不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都(2)幅度衰减特性：随着谐波n0增大，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。【例4-1-8】画出周期信号)(~tx=1+cos(0t/2)+0.5cos(20t+/3)的频谱。分析：根据周期信号的频谱基本概念，将)(~tx表示为虚指数信号tn0je的线性组合（指数形式Fourier级数），虚指数信号tn0je的系数就是该信号的频谱。解：由Euler公式，周期信号)(~tx可表示为)eeee(41)eeee(211)(~00002j3jπ2j3/jπj2/jπj2/jπt/ttttx与ntnnCtx0je)(~比较，可得3jπ23/jπ22/jπ12/jπ10e41,e41,e21,e21,1/CCCCC所以周期信号)(~tx的频谱Cn如下图所示。|Cn|22331/21/41/21/4n3223周期信号)(~tx的幅度频谱和相位频谱结论：根据周期信号)(~tx的幅度频谱和相位频谱，可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情况。如果已知周期信号的频谱Cn，则可由式ntnnCtx0je)(~重建信号)(~tx。信号的时域描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。【例4-2-1】试求图(a)所示非周期矩形脉冲信号x(t)的频谱函数X(j)。x(t)tA0X(jA0(a)非周期矩形脉冲信号(b)信号频谱函数分析：非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，其Fourier变换X(j)存在。解：非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为2||02||)(ttAtx，，由连续信号Fourier变换定义可得tAttxXττttdede)()j(22jj)2Sa()2sin(2ej2/2/jAAAt结论：(1)连续非周期信号的频谱是连续谱，其形状与周期矩形信号离散频谱的包络线相似。(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。(3)信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2/(rad/s)或1/Hz)，在时域的宽度为。即【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=(t)的频谱。分析：非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。解：利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱1de)(de)()]([)j(jjttttxtXttF下图画出了冲激信号(t)及其频谱。(t)tX(j单位冲激信号及其频谱结论：(1)冲激信号的频谱为一常数。(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1(t)的频谱。分析：直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(j)存在，可借助(t)的Fourier反变换计算。解：利用(t)的频谱及Fourier反变换公式可得de1π21)(jtt(1)由于(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为d