计算流体力学(中科院力学所)-第15讲-湍流及转捩3

计算流体力学讲义第十五讲湍流与转捩（3）李新亮[e-mail]；力学所主楼219；82543801知识点：1讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”讲课录像及讲义上传至网盘湍流的大涡模拟(LES)滤波，涡粘模型，相似模型，梯度模型，动力学模型湍流模式理论（RANS）：计算量较小，但普适性差，很难找到通用的模型§14.6湍流大涡模拟简介原因：湍流脉动的多尺度性大尺度脉动：受几何条件、外部因素影响强烈。复杂、多态、强各向异性思路：小尺度脉动受平均流影响较小，更容易模化ijjijixuxukcuu2''大涡模拟（LES）：流动=大尺度流动+小尺度脉动直接求解通过模型，由大尺度量给出kEnergyspectrum10010110210-1010-910-810-710-610-510-410-310-2FE2FE1FF1k**(-5/3)大尺度区惯性区耗散区可压均匀各向同性湍流的能谱受几何条件，外部因素影响强烈，只能直接求解受外部因素影响较弱，容易模化1.滤波a.盒式滤波b.谱截断滤波c.Gaussian型滤波dfxGxf)(),()(1),(dxGotherwisexifxG02/1),(2233222211/])()()[(62/326),(xxxexG2/2/xx14.5.1不可压缩湍流的大涡模拟简介设的滤波尺度为2.滤波的性质gfgfA.若采用Box滤波及谱截断滤波则：ff令：fff则:,0fB.若采用一般的滤波器则：ff,gfgf如采用Gaussian型滤波有如下性质f相当于尺度的滤波2defddeefdefdexfxxx2222222222/)(32/32/)(6/)(632/)(6/)(632)(26)(6)(6)(dexfx212/)(62/316)(f3.基本方程20()1iiijiijiuxuuuputxx20()1iiijiijiuxuuuputxxjijiijuuuu大尺度量满足的方程20()1iiijijiijijuxuuuputxxx)(jijijijiuuuuuuuu滤波：亚格子Reynolds应力jiijjijijijjiijijijiijuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu))((性质：ijijijLuuuuff由于通常情况下LES亚格子Reynolds应力与RANS的Reynolds应力形式有所区别jiRijuuRANSLeonard应力特点：无需模型，可直接计算4.亚格子Reynolds应力模型jijiijuuuu（1）Smagorinsky模型)()(21)(2uSuSuSijij其中ijkkijjiijuuuS,,,32特点：模型简单，鲁棒性好缺点：在层流区耗散过大，在近壁区不适用。需要衰减函数A.基本模型隐式滤波)1()()(22uSuSCijsij涡粘模型25,))/(exp(13AAyD常用的衰减函数：算出后，乘以该函数即可ij只需将原先的粘性系数换成t22()tsCSu（2）相似模型jijiijuuuu假设不同尺度对雷诺应力的贡献是相似的将上式中的换成得iuiujijiijuuuu即相似模型该模型预测雷诺应力的准确度有所提高但该模型预测的雷诺应力偏低小尺度uuu大尺度（3）梯度模型采用Taylor分析的方法找出亚格子应力模型若采用BOX滤波312123222222224()()1()24kkkfxfdffOxxxξξ)()(241)(...))(21)()((1)(1)(4222222Oxfxfdxfxfxfdxfxf2222224222411()()2424()1()()241()12jiijijijikjkkkkkijijkkkjjkkkkkuuuuuuuuxxxxuuuuOxxuuOxxxx)(2Ouuii推导过程并不严密，高阶量为必是小量从相似模型推导，可以得出同样的公式。)(4O缺点：稳定性差Liuetal1994建议采用限制器：otherwiseuifcjiij001,22241()12jjijkkkkkuuOxxxxB.动力学模型采用二次滤波的方法建立亚格子应力模型小尺度G-levelF-levelGermano恒等式：F-滤波+G-滤波与FG滤波之间的关系式F-level滤波滤波尺度为，G-level滤波滤波尺度为FG-level滤波：ffkfˆjijiijuuuujijiijuuuuTˆˆ^ˆˆ(1)ijijijijijTuuuuL特点：该量无需模型，可直接计算FG滤波F滤波+G滤波^^ˆijijijuuuuCopyrightbyLiXinliang12特点：无需模化，可“精确”算出^ˆˆijijijijTuuuuijijTFG滤波（）亚格子应力k经过G-滤波后的F-滤波（）亚格子应力Germano恒等式启发：Germano提供了亚格子模型的一个约束条件，可用来改进模型)()(22uSuSCijdij(,,)ijfuC模型系数，动态可调，需要计算ˆ(,,)ijTfukC^^ˆˆˆ(,,)(,,)ijijijijTfukCfuCuuuu仅C是未知数，可解6个方程1个未知数，通常采用最小二乘解（1）动力学涡粘模型F-levelFG-levelijdijijdijijMCuSuSuSuSkCT))ˆ)()(()ˆ()ˆ()((ˆ2222ijdijijijMCTLijijijijdMMLMC预测亚格子雷诺应力的准确性有所提高，改进了层流区及近壁过于耗散的情况。)()(22uSuSCijdij)ˆ()ˆ()(22uSuSkCTijdij涡粘系数C动态可调通过两次滤波，确定该系数FG滤波，相当于用进行滤波k可直接计算，无需模型(2)动力学混合模型基本模型为相似模型与涡粘模型的混合模型)()(2uSuSCuuuuijdjijiijijijdijijijHMCTL)(ˆˆˆˆˆˆjijijijiijuuuuuuuuHijijijijijdMMHLMC)(（3）动力学Clark模型基本模型为梯度模型与涡粘模型的混合模型)()(1212222uSuSCuuijdjkikkij))(121(ˆˆ)(121222222jkikkjkikkijuukuukHijijijijijdMMHLMC)(5.近壁处理jijiijuuuu显然在近壁处亚格子雷诺应力应当趋于0，但很多模型却不满足该条件因此需要采用特殊处理（采用衰减函数）而动力学模型无需衰减函数ijijijijdMMLMC)()(22uSuSCijsij)()(22uSuSCijdij))/(exp(13AyD例如：14.5.2可压湍流的大涡模拟压缩性效应：A.引起平均量改变（主要是平均密度的变化引起的）B.引起流动小尺度结构的变化（如小激波）弱可压缩下的Morkovin理论：当湍流马赫数较小时，压缩性效应主要影响平均量。Favre平均-1-0.500.510.9511.051.11.151.21.251.3可压槽道湍流的平均密度温度和压力pTyff~ff~基本方程更复杂的非线性项：jiuu粘性项也是非线性的：)3/2()()(,,,ijkkijjiijijijuuuSuSTjijijjjjtjijijjitijjtuqupeepuuuu,,,,,,,,,,)())(()1.3()()(0)(出现了压力关连项：ipu热传导项也是非线性的：ijiuiiTq,当马赫数不是很高时，粘性项及热传导项的非线性是很弱的iiijijTTkquST,)()()(对（1）进行滤波：Ququpeepuuuujijijjjjtijjijijjitijjt,,,,,,,,,,)~()~)(()()~~()~(0)~()~()(uSTijij2~211urpe4321QQQQQjiijjiijjjjjjjjijuuQuppuQuppuQuQ,,4,,32,1~~)1/()~()(~~)(~~jijiijuuuu可压缩湍流亚格子雷诺应力模型jkikkijuu~~121222ijijijijdMMLMC能量方程中的亚格子模型iijjtdkkCQTMuSCQQ2/1/~Pr)1()~(2/34,,232)~()~(22uSuSCijsij)~()~(22uSuSCijdijCopyrightbyLiXinliang21本CFD课程的全部习题习题1.1：推导无量纲的Navier-Stokes方程组习题1.2：对于一维Euler方程组推导Jocabian矩阵以及中的表达式。要求：给出具体推导过程，切忌从书上抄录公式0Utxf(U)ΛSSA1UUfA)(SS,,1习题2.10)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut如下Sod激波管问题:01.0,125.0,001,1,0),,(:0xxput)1,1,0(),,(pu)1.0,125.0,0(),,(pu求出理论解，并分别画出t=0.14时刻的分布曲线。pu,,CopyrightbyLiXinliang22习题4.1构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验针对单波方程：0xutu对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。要求：精度不限；网格基架点数不超过6个；能够分辨的波数范围尽量宽；（即kr,ki曲线近可能接近准确解）给出差分的具体表达式，画出kr,ki的曲线；说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证；26154131231jjjjjjjjuauauauauauaxuu16514233241jjjjjjjjuauauauauauaxuu形如：……另外，进行如下数值验证：)sin()0,(]2,0[,0xxuxxutu空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。23CopyrightbyLiXinliang提示：1.如不使用优化技术，则格式构造方法简单，Taylor展开