2018高考文科数学一轮复习 随机事件的概率

复习四十七随机事件的概率高三（8）班高考数学第一轮复习一、随机事件的频率与概率1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的_____nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝____为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的__________稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．次数频率fn(A)nAn频率和概率有什么区别和联系？频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。考点一随机事件的频率与概率解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.例1、某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．练习：《新坐标》P149.例21．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A，则事件B，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)(或)相等关系若B⊇A，且，那么称事件A与事件B相等A＝B发生一定发生B⊇AA⊆BA⊇B二、互斥事件与对立事件名称定义符号表示并事件(和事件)若某事件发生当且仅当或，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)(或)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当且，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)(或)事件A发生事件B发生A∪BA＋B事件A发生事件B发生A∩BAB名称定义符号表示互斥事件若A∩B为事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为事件，A∪B为，那么称事件A与事件B互为对立事件不可能必然事件不可能对立事件与互斥事件有什么关系？事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件。0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)2、概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率P(E)＝.(3)不可能事件的概率P(F)＝.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝．(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．考点二事件关系的判断(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝Ω(Ω为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．【例2】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件，某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是女生．例3（1）设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A(2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡A练习：《新坐标》P149.例1、变式训练1求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．考点三互斥事件、对立事件的概率例4、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．三、古典概型（1）基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的。②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.（2）古典概型的特点：①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.（3）古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数(4)古典概型中基本事件个数的探求方法①例举法：将基本事件按一定的顺序一一例举出来，适用于求解基本事件个数比较少的概率问题；②树状图法：适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求，对于基本事件“有序“与”无序“区别混合的题目，常采用树状图法。③列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；2、事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．若事件A与B相互独立，则A与B－、A－与B、A－与B－也都相互独立P(A)P(B)【讨论】“两个事件互斥”与“相互独立”的异同点有哪些？两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．3．求事件的概率注意的问题已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为AB；A、B恰有一个发生的事件为(AB)∪(AB)；A、B中至多有一个发生的事件为(AB)∪(AB)∪(AB)，它们之间的概率如下所示：A、B互斥A、B相互独立P(A＋B)P(A)＋P(B)1－P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB)1－[P(A)＋P(B)]P(A)P(B)P(AB＋AB)P(A)＋P(B)P(A)P(B)＋P(A)P(B)P(AB＋AB＋AB)11－P(A)P(B)4、解决概率问题的步骤(1)记“事件”或设“事件”．(2)确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验．把所给问题归结为四类事件中的某一种．(3)判断事件的运算是和事件还是积事件，即事件是至少有一个发生，还是同时发生，然后分别运用相加或相乘公式．(4)运用公式进行计算．(5)简明写出答案．古典概型的题型，在选择、填空，解答题中都有可能考查，尤以解答题为主，往往与统计等知识相结合，考查难度不大，关键是计算准确基本事件总数与所求事件发生的事件数.考点三古典概型例题1、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，关键看每个事件发生是否等可能例题1、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．规律方法一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．问题：如何判断一个概率模型是否为古典概型？2201304rr例、（安徽六校联考）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m,n,向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角记为，则（，）的概率为________.512练习：《新坐标》P153.例1（1）（2）例3、(2015·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．721    711223练习：袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，，取后不放回，直到两人中有个取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．求袋中原有白球的个数；求取球次即终止的概率；求甲取到白球的概率．练习：《新坐标》P153.变式训练2例4、(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶(2)图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.四、几何概型（1）几何概型的特点：无限性，等可能性（2）几何概型的概率公式P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积题型一与长度有关的几何概型例1、有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？223113...4235BCD例、设A为圆周上一点，在圆周上等可能的任取一点与A连接，则弦长超过半径倍得概率是（）A.B题型二与角度有关的几何概型例3、在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM||AC|的概率.41,31111111.424222zyxB例、