高考数学复习10-立体几何2

第2课时空间几何体的表面积与体积柱、锥、台和球的侧面积和体积基础知识梳理2πrhShπr2hπrlπ(r1＋r2)l13πr2h基础知识梳理ChSh12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR3基础知识梳理对于不规则的几何体应如何求其体积？【思考·提示】对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决．1．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为()答案：B三基能力强化A．1B．2C.155D.21552．母线长为1的圆锥的侧面展开图的答案：C三基能力强化圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()A.2281πB.881πC.4581πD.1081π3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()答案：D三基能力强化A.a36B.a312C.312a3D.212a34.(2009年高考上海卷改编)若球O1、O2答案：8三基能力强化表面积之比S1S2＝4，则它们的体积之比V1V2＝__________.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是__________．三基能力强化答案：(5＋2)πa2三基能力强化求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系．课堂互动讲练考点一多面体的表面积课堂互动讲练例1正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．课堂互动讲练【解】课堂互动讲练如图，正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.＝32(cm2)，又S棱锥底＝42＝16(cm2)∴S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．课堂互动讲练∵OE＝12×4＝2，∠OPE＝30°，∴PE＝OEsin30°＝4.∴S棱锥侧＝12×4×4×4【名师点评】本例中常见的错误是用锥体的高来求侧面积，切记锥体侧面积中的高指的是斜高．课堂互动讲练圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它们的侧面展开图的面积，因此应熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状，以及展开图中各线段长度与原图形中线段长度的关系，这是掌握侧面积公式以及进行计算求解的关键．课堂互动讲练考点二旋转体的表面积课堂互动讲练例2(2009年高考山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()课堂互动讲练A．2π+23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋233【思路点拨】由三视图还原几何体，从而解决几何体中的量．课堂互动讲练【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱课堂互动讲练和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.【答案】C【规律小结】几种旋转体的展开图(1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长．(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．课堂互动讲练1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．课堂互动讲练考点三几何体的体积课堂互动讲练例3如图所示，ABCD是边长为3的正面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()方形，EF∥AB，EF＝32，EF与【思路点拨】课堂互动讲练A.92B．5C．6D.152或依据提供选项，利用所求体积大于VE－ABCD，可得答案．【解析】法一：可利用排除法来解课堂互动讲练决．棱锥E－ABCD的体积V1＝13×32×2＝6，而此多面体的体积VV1.故选D.法二：如图所示，连结EB、EC.四棱锥E-ABCD的体积课堂互动讲练VE－ABCD＝13×32×2＝6.由于AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.∴VF－BEC＝VC－EFB＝12VC－ABE＝12VE－ABC＝32，∴VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋32＝152.法三：如图所示，设G、H分别为AB、CD的中点，连结EG、EH、GH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH-FBC.课堂互动讲练课堂互动讲练VE－AGHD＝13SAGHD×2＝13×3×32×2＝3.VEGH－FBC＝3VB－EGH＝3×12VE－GBCH＝32VE－AGHD＝32×3＝92.∴VEF－ABCD＝VE－AGHD＋VEGH－FBC＝152.【答案】D课堂互动讲练【名师点评】解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：(1)几何体的“分割”依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体积的几何体，进而求解．(2)几何体的“补形”有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．1．球的组合体与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．课堂互动讲练考点四简单组合体2．几何体的展开与折叠几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的．利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．课堂互动讲练课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分6分)(2009年高考全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________．【思路点拨】结合图形，确定球心与半径，代入表面积公式．【解析】设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，课堂互动讲练【答案】20π6分课堂互动讲练∠BAC＝120°，∠ABC＝12(180°－120°)＝30°，AM＝AC2sin30°＝2.因此，R2＝22＋(AA12)2＝5，此球的表面积等于4πR2＝20π.5分【规律小结】球切几何体时，应注意球心，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．课堂互动讲练(本题满分8分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．课堂互动讲练高考检阅解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内课堂互动讲练时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为课堂互动讲练V＝V圆锥－V球＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，6分将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V′＝13π(33h)2h＝19πh3，由V＝V′得h＝315r.10分1．几何体的展开图柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展开图进行的.规律方法总结规律方法总结名称侧面展开图几何体与侧面展开图的关系棱柱展开图是若干个小平行四边形构成的图形(关系如图)规律方法总结名称侧面展开图几何体与侧面展开图的关系棱锥展开图是共顶点的三角形构成的图形(关系如图)规律方法总结圆柱展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱的母线长圆锥展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面圆周长2.有关球的组合体与球有关的组合体问题，近几年高考命题中常出现，特别是球的外接与内切问题，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系．并作出合适的过球心的截面图，将立体几何问题转化为平面几何问题求解．规律方法总结(1)正方体与球(2)正四面体与球棱长为a的正四面体的内切球的半径为规律方法总结棱长为a的正方体的内切球的半径为a2，外接球的半径为32a.612a，外接球的半径为64a.