2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2012年高考数学试题（理）第1页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.102.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A.12种B.10种C.9种D.8种3.下面是关于复数iz12的四个命题中，真命题为（）P1:|z|=2，P2:z2=2i，P3:z的共轭复数为1+i，P4:z的虚部为-1.A.P2，P3B.P1，P2C.P2，P4D.P3，P44.设F1，F2是椭圆E:12222byax)0(ba的左右焦点，P为直线23ax上的一点，12PFF△是底角为30º的等腰三角形，则E的离心率为（）A.21B.32C.43D.545.已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A.7B.5C.-5D.-76.如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，aN，输入A、B，则（）A.A+B为a1，a2，…，aN的和B.2BA为a1，a2，…，aN的算术平均数C.A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A.6B.9C.12D.182012年高考数学试题（理）第2页【共10页】8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=34，则C的实轴长为（）A.2B.22C.4D.89.已知0，函数)4sin()(xxf在),2(单调递减，则的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]10.已知函数xxxf)1ln(1)(，则)(xfy的图像大致为（）A.B.C.D.11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62B.63C.32D.2212.设点P在曲线xey21上，点Q在曲线)2ln(xy上，则||PQ的最小值为（）A.2ln1B.)2ln1(2C.2ln1D.)2ln1(2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a，b夹角为45º，且1||a，102||ba，则||b.14.设x，y满足约束条件0031yxyxyx，则2zxy的取值范围为.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件31y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy2012年高考数学试题（理）第3页【共10页】正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.16.数列}{na满足12)1(1naannn，则}{na的前60项和为.三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，0sin3coscbCaCa.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.18.（本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线:Cpyx22)0(p的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（Ⅰ）若∠BFD=90º，△ABD面积为24，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.元件1元件2元件3CBADC1A1B12012年高考数学试题（理）第4页【共10页】21.（本小题12分）已知函数121()(1)(0)2xfxfefxx.（Ⅰ）求)(xf的解析式及单调区间；（Ⅱ）若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.22.（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：（Ⅰ）CD=BC；（Ⅱ）△BCD∽△GBD.23.（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(.（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；（Ⅱ）若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.FGDEABC2012年高考数学试题（理）第5页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共2510C种选法.2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224CC种安排方案.3．【答案：C】解析：经计算2221,||2(1)21zizziii=，，复数z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，21FPF△是底角为30º的等腰三角形可得212PFFF，即32()22acc，所以34cea.5．【答案：D】解析：472∵aa，56478aaaa，4742aa，或4724aa，，14710∵，，，aaaa成等比数列，1107aa.6．【答案：C】解析：由程序框图判断xA得A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由xB得B应为a1，a2，…，aN中最小的数.7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V.8．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A(4,23)在222xya上，将点A代入得24a，所以实轴长为24a.9．【答案：A】解析：由322,22442kkkZ得，1542,24kkkZ，15024∵，∴.10．【答案：B】2012年高考数学试题（理）第6页【共10页】解析：易知ln(1)0yxx对(1,0)(0,)xU恒成立，当且仅当0x时，取等号，故的值域是(-∞,0).所以其图像为B.11．【答案：A】解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABCV，226SABCOABCVV.12．【答案：B】解析：因为12xye与ln(2)yx互为反函数，所以曲线12xye与曲线ln(2)yx关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则11()122xxyee，2xe，即ln2x，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，切点A点到直线y=x距离为|ln21|1ln222d，所以||22(1ln2)PQd.二、填空题：13．【答案：32】解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||ababaabbaabborrrrrrrrrrrr2422||||10bbrr，解得||32br.14．【答案：[3,3]】解析：画出可行域，易知当直线2Zxy经过点(1,2)时，Z取最小值-3；当直线2Zxy经过点(3,0)时，Z取最大值3.故2Zxy的取值范围为[3,3].15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228.16．【答案：1830】解析：由1(1)21nnnaan得2212124341①②kkkkaakaakLL，由②①得,21212kkaa③由①得,2143656059()()()()奇偶SSaaaaaaaaL(1117)3015911717702L.由③得,3175119()()()奇SaaaaaaABCO2012年高考数学试题（理）第7页【共10页】5957()21530aaL，所以60()217702301830奇奇奇偶偶SSSSSS.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos3sin0aCaCbc及正弦定理可得sincos3sinsinACACsinsin0BC，sincos3sinsinsin()sin0ACACACC，3sinsincossinACACsin0C，sin0CQ，3sincos10AA，2sin()106A，1sin()62A，0AQ，5666A，66A，3A.（Ⅱ）3ABCSVQ，13sin324bcAbc，4bc，2,3aAQ，222222cos4abcbcAbcbc，228bc，解得2bc.18．解析：（Ⅰ）当n≥16时，y=16×(10-5)=80，当n≤15时，y=5n-5×(16-n)=10n-80，得1080,(15)()80,(16)nnynNn.（Ⅱ）（ⅰ）X可能取60，70，80.P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分