2014年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)立体几何 理

G单元立体几何G1空间几何体的结构20．、、[2014·安徽卷]如图1­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.图1­5(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．20．解：(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD，所以BQBB1＝BQAA1＝BCAD＝12，即Q为BB1的中点．(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.图1V三棱锥Q­A1AD＝13×12·2a·h·d＝13ahd，V四棱锥Q­ABCD＝13·a＋2a2·d·12h＝14ahd，所以V下＝V三棱锥Q­A1AD＋V四棱锥Q­ABCD＝712ahd.又V四棱柱A1B1C1D1­ABCD＝32ahd，所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1­ABCD－V下＝32ahd－712ahd＝1112ahd，故V上V下＝117.(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，所以S△ADC＝4，AE＝4.于是tan∠AEA1＝AA1AE＝1，∠AEA1＝π4.故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为π4.方法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1→分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.因为S四边形ABCD＝a＋2a2·2sinθ＝6，所以a＝2sinθ.图2从而可得C(2cosθ，2sinθ，0)，A14sinθ，0，4，所以DC＝(2cosθ，2sinθ，0)，DA1→＝4sinθ，0，4.设平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)，由DA1→·n＝4sinθx＋4＝0，DC→·n＝2xcosθ＋2ysinθ＝0，得x＝－sinθ，y＝cosθ，所以n＝(－sinθ，cosθ，1)．又因为平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)，所以cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝22，故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为π4.8．[2014·湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.3551138．B[解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝275L2h，则π≈258.故选B.7．、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4图1­17．B[解析]根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.G2空间几何体的三视图和直观图7．[2014·安徽卷]一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的表面积为()A．21＋3B．8＋2C．21D．18图1­27．A[解析]如图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其表面积S＝6×4－12×6＋2×12×2×62＝21＋3.2．[2014·福建卷]某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱2．A[解析]由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．5．[2014·湖北卷]在如图1­1所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1­1A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②5．D[解析]由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.7．、[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1­2A．1B．2C．3D．47．B[解析]由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r＝6＋8－102＝2.5．[2014·江西卷]一几何体的直观图如图1­1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是()图1­1ABCD图1­25．B[解析]易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．7．、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4图1­17．B[解析]根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.3．[2014·浙江卷]几何体的三视图(单位：cm)如图1­1所示，则此几何体的表面积是()图1­1A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm23．D[解析]此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2×12×3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，故选D.12．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1­3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()图1­3A．62B．6C．42D．412．B[解析]该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E­CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝（42）2＋22＝6.6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图1­1A.1727B.59C.1027D.136．C[解析]该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值为20π54π＝1027.17．[2014·陕西卷]四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．图1­417．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，BA＝(－2，0，1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，∴n·DA＝0，n·BC＝0，得z＝0，－2x＋2y＝0，取n＝(1，1，0)，∴sinθ＝|cos〈BA→，n〉|＝BA·n|BA||n|＝25×2＝105.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E1，0，12，F(1，0，0)，G(0，1，0)．∴FE→＝0，0，12，FG＝(－1，1，0)，BA＝(－2，0，1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，则n·FE＝0，n·FG＝0，得12z＝0，－x＋y＝0，取n＝(1，1，0)，∴sinθ＝|cos〈BA→，n〉|＝BA·n|BA→||n|＝25×2＝105.10．[2014·天津卷]一个儿何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1­310.20π3[解析]由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3.7．[2014·重庆卷]某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的表面积为()图1­2A．54B．60C．66D．727．B[解析]由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝12×3×4＋3×52＋2＋52×4＋2＋52×5＋3×5＝60.G3平面的基本性质、空间两条直线4．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．B[解析]B[解析]由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．17．、、[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．图1­517．解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，12，12.则BC→＝(1，1，0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0，1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则n·BC→＝0，n·BM→＝