王永 静电力常量与麦克斯韦方程组

静电力常量的数值究竟是谁给出的？人教版高中物理选修3-1讲到，在库仑那个年代，无法精确测量物体的电荷量，甚至连电荷量的单位都没有。课本上接着讲了利用相同金属球分电荷的方法。下面还有一个注释说，库仑最初的实验是用带电木髓球进行的，并非金属球。库仑定律那个表达式，是库仑作为假设提出的。库仑定律表达式中的比例系数的数值和量纲取决于库仑定律表达式中其他物理量的单位。静电单位制中，比例系数就是个无量纲数1，无需测量。具体请看任何一本电磁学书里关于电磁学单位制的介绍。这里主要谈谈国际单位制中的静电力常量。国际单位制是二十世纪才制定出的，所以静电力常量的数值肯定不是库仑给出的。那么这个数值的给出者究竟是谁呢？史料中似乎难以寻觅，说明此人很低调。让我们回顾一下麦克斯韦方程组，看看那个常量究竟是怎么回事，还有就是，它的数值究竟是怎么给出的。在麦克斯韦建立起以他的名字命名的方程组以前，人们对电磁现象已经有了较好的认识。对于稳恒情形，人们已经认识到所谓库仑定律和毕奥-萨伐尔定律；非稳恒情形时，则有所谓法拉第电磁感应定律。库仑定律指出，静电情形时，F=kq1q2／r^2，k为比例系数。引入电场强度E后，由库仑定律，得到一个微分关系式，▽•E=4πkρ，其中ρ是电荷密度。▽•E表示E的散度。上述微分方程中的4π是怎么出来的，请参阅任何一本电动力学或者数学物理方法书籍。为了使微分方程的形式显得简洁一些，人们令4πk=1／ε0，即k=1／4πε0。显然，如果给出ε0，k也就随之确定了。这样上述微分方程就成为，▽•E=ρ／ε0稳恒情形下，关于磁感应强度B的毕奥-萨伐尔定律中，也有一个比例系数k’。出于同样的考虑，令k’=μ0／﹙4π﹚。注意，μ0在分母上。把比例系数k，k’写成那样的形式，只是为了使后面的微分方程及相应结论具有简洁的形式，没有什么更特别的原因。这样，毕奥-萨伐尔定律就写成其中I是电流强度，r是位矢，戴尖帽子的那个r，表示位矢对应的单位矢量。如果不能认为电流集中在横截面积不计的细线内，则应写成其中j是电流密度矢量，e（r-r’）表示r-r’对应的单位矢量。由毕奥-萨伐尔定律，可以得到两个微分关系式，▽•B=0，这表明，稳恒情况下，磁场应该是无源的。有的书上把这个叫做磁场的高斯定理。▽×B=μ0j，其中j是电流密度。其实这个就是安培环路定律的微分形式。▽×B表示B的旋度。由毕奥萨-伐尔定律，还能得出所谓安培环路定律。这是当时已有的认识，似乎很接近最终的麦克斯韦方程组了。那时，人们认为，上面的几个微分方程，只在稳恒情形下成立。麦克斯韦仔细研究了已有的知识后，想把上述几个方程推广到非稳恒的情况。他发现，直接推广▽•E=ρ／ε0和▽•B=0，是不会导致数学上的矛盾的。但是，如果把▽×B=μ0j直接推广到非稳恒情形，会导致数学上的矛盾。一个物理理论要想合理地描述现象，首先得保证数学上不能有矛盾，然后再谈是否符合实验。为了解除这个矛盾，基于对电荷守恒的已有认识，再考虑到方程▽•E=ρ／ε0，麦克斯韦在方程▽×B=μ0j的右边，增添了一项，就是所谓位移电流。但是，仅仅为了解除数学上的矛盾，位移电流的数学形式，不是唯一的。麦克斯韦也许是基于一种物理规律应该是简洁的，优美的这种想法，为位移电流选取了一种最简单的数学形式。引入位移电流，将上面几个微分关系式推广到非稳恒情形，再加上法拉第电磁感应定律对应的微分关系式▽×E=-偏B／偏t，就得到了麦克斯韦方程组。这组方程的第4个，是基于数学上的考虑得到的。当然，很快就得到了实验的证实。仅有这四个方程还是不够的，还需补充洛伦兹力假设。有了麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式，原则上就可以解释所有的电磁现象了。后来人们意识到，麦克斯韦方程组，具有所谓的规范对称性，现在我们知道，根据诺特定理，一种对称性，就对应着体系的一个守恒量。而规范对称性，就对应着体系的电荷守恒。我们看到，在麦克斯韦的时代，人们基于一系列的实验事实，归纳出了麦克斯韦方程组不过，在人们对体系的对称性已经有了足够深入认识的情况下，当今的物理学家只需根据库仑定律这样一个实验事实，然后基于相对论协变性，以及时间平移，空间平移，空间转动，规范对称性等的考虑，就可以构建出完整的麦克斯韦方程组。这种基于库仑定律，对称性，相对论协变性，构建麦克斯韦方程组的方法，我记得是在一本，好像是四川科技出版社出的书里，有较为详细的讲解。爱因斯坦说：“上帝是微妙的，但并无恶意。”仔细回顾麦克斯韦方程组的建立，尤其是位移电流的引入，以及相对论的建立中的那些细节，会让人们对爱因斯坦的话有切肤的感受。上帝创造这个世界的手法不是一目了然的，但也并没有复杂得无以复加，以致可怜的人类无从捉摸；上帝隐藏了他的手法，但也向人类透露了足够的端倪；只要坚信简单和美的信念，在某种程度上，人类是可以理解上帝的。在麦克斯韦写下以他的名字命名的方程组后，立即就意识到，这组方程不具有伽利略协变性。对麦克斯韦方程组协变性的研究，导致了相对论的诞生。在适当的单位制下，麦克斯韦方程组具有以下形式：洛仑兹力表达式为，F=qE+qv×B或f=ρE+j×B。在没有电荷分布和电流分布的空间，麦克斯韦方程组成为消去B，或者E（具体过程请看任何一本电动力学或矢量微积分书籍），得到这两个微分方程很明显地反映了电磁场的波动性。这种形式的微分方程叫做达朗贝尔方程，数学物理方法中有固定的解法。求解达朗贝尔方程可以解出真空中电磁波的传播速度c=（μ0ε0）^（-1／2）。可见真空中电磁波的传播速度是个与频率，波长无关的常数，而且与参照系也没有关系。这些都是麦克斯韦时代的人们就意识到的，也是启示爱因斯坦打开相对论大门的钥匙。下面我们看μ0，ε0是怎样给出的。考察两条平行的，间距为a，其中电流强度均为I的无限长细直导线。利用对称性，由安培环路定律，很容易即可计算出长度为L的一段导线受到的安培力为，F=μoLI^2／（2πa）。请注意这个公式，所有的答案都在这里。另外需要注意的是，写到这里，我们还没有涉及电流强度，以及电荷量的具体单位。国际单位制里，人们规定μ0的数值为4π×10^-7，并且这样规定电流强度的单位：真空中相距一米，具有等值电流强度，截面积忽略不计的两平行无限长直导线，如果单位长度导线受到的安培力为2×10^-7牛顿，则每根导线中电流强度为1安培。或者说，当这样规定了电流强度的单位后，μ0的数值自然就是4π×10^-7，而量纲则是，牛顿／安培^2，即μ0=4π×10^-7牛顿／安培^2。有了电流强度的单位安培，进一步可以定义电荷量的单位库仑。人们早就通过各种实验，确认光就是电磁波，并且很早就用不少方法，较为精确地测出了光，或者说电磁波在真空中的传播速度c。由（μ0ε0）^（-1／2）=c，立即可以计算出ε0。进而由k=1／4πε0，计算出静电力常量k。可见，国际单位制中的静电力常量是不需要通过那个库仑定律的表达式去专门测量的，只要知道光，或者说电磁波的传播速度，就能把它计算出来。而光的传播速度，很早的时候就较为精确地测出了，后来，人们又用各种方法，很精确测定了光或者说电磁波的传播速度。这样看来，通过库仑定律的表达式测量静电力常量，是一件可有可无的工作，重要性无法与卡文迪许测量引力常量的实验相比。也许，还真的有人那样去测了，但史书懒得去记载他或她的姓名，所以难以为公众所知。课本上还写了一个注释，说，库仑最初的实验是用带电木髓球进行的，并非金属球。库仑定律那个表达式，是库仑作为假设提出的。