等系数和线的应用(定稿)

等系数和线的应用广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述平面向量是高中数学的一个重点知识，也是一种重要的解题工具，更是历年高考命题的热点.向量具有代数与几何的双重特性，因此在处理问题时既可以将向量问题代数化，也可以从数形结合角度进行分析.本文重点介绍利用等系数和线的方法解决向量线性表示中的系数和问题，并侧重于从数形结合思想分析问题，让读者体会该方法的直观性与简洁性.二、基本理论1.三点共线定理：设,OAOB为平面内的一组基底，且OCxOAyOB，则,,ABC三点共线的充要条件为1.xy如图1所示：事实上，根据三点共线定理，我们还可以得到更为一般的结论.2.等系数和线：设,OAOB为平面内的一组基底，且OCxOAyOB，则点C在直线AB上或者与AB平行的直线上的充要条件为()xykk为定值.如图2所示：下面给出该结论的证明：（1）充分性：已知()xykk为定值①当1k时，根据三点共线定理知点C在直线AB上②当1k时，在动点C的轨迹上任取两点12CC，设111OCxOAyOB222OCxOAyOB1122xyxyk则2121()xxyy1221212121()()()CCOCOCxxOAyyOBxxBA12CC//BA即12CC//AB综上所述充分性成立.（2）必要性：①当点C在直线AB上时，根据三点共线定理易知1.xy②当点C在平行AB的直线上时，过点C作直线l，使l//AB，并分别交,OAOB（所在直线的延长线）于点,AB.如图3所示：设,.OAkOAOBkOB,,ACB三点共线则(1)(1)OCOAOBkOAkOB令,(1)xkyk则xyk综上所述必要性成立.因此，我们称直线AB以及与AB平行的直线为等系数和线.3.推论：根据上面的证明过程，我们可以得到以下结论.如图4所示：①若OCxOAyOB，则21.OCdxyOCd②当等系数和线在O与直线AB之间时，0,1.xy③当直线AB在等系数和线与O之间时，1,.xy三、等系数和线的应用——求系数和或系数和的取值范围.问题一:xy型.例题1.如图5所示，在ABCD中，,EF分别为CD和BC的中点，若ABxAEyAF，则xy________.解：如图所示，连接EF，延长AB交直线EF于点B.已知ABxAEyAF且,EF为中点.则23ABxyAB例题2.（2017全国II卷12题改编）在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心，且与BD相切的圆上.若APxAByAD，则xy的取值范围为______________.解：如图所示，过点C作直线1l//BD作圆C的切线2l且2l//BD过点A作BD的垂线分别交12,,BDll于点,,.EFG易知.AEEFFG当P落在直线BD上时，1xy当P落在切线2l上时，3.AGxyAE事实上，当P在圆C上运动时，等系数和线夹在直线BD与切线2l之间，故xy的取值范围为1,3.点评利用等系数和线方法处理形如OCxOAyOB的系数和问题的基本步骤：①连接AB，构造直线AB②连接（延长）OC交直线AB于点C，则.OCxyOC必要时，应利用平行线分线段成比例计算OCOC的值.③对于xy的取值范围问题，可以过动点C的轨迹内作1l//AB，2l//AB且12,ll分别为距离O点最近与最远的两条平行线，则12,ddxydd，其中12,,ddd分别为点O到直线12,,ABll的距离.问题二：axby型.例题3.如图6所示，在ABCD中，,EF分别为CD和BC的中点，若ABxAEyAF，则24xy________.解：如图所示，作AF的中点F.连接EF交AB于点B，易知B为AB的中点.则2ABxAEyAFxAEyAF22ABxyAB故242(2)4xyxy.例题4.（2009安徽卷改编）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23，如图7所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OCxOAyOB，其中,xyR.则2xy的取值范围为_______________.解：如图所示，作OB中点'B,连结'AB,作弧AB的切线l，使//lAB.设切点为M,连结OM交'AB于'M则2OCxOAyOBxOAyOB当C落在直线'AB时，则12yx.当C落在切线l时，'''12sinOMOAxyOABOMOM在'AOB中，''12123OBOAAOB，，'22'2''2cosABOAOBOAOBAOB27'AB''''sinsinOABOBAOBAB'1221sin3OAB故点C在弧AB上运动时，12minyx32122maxyxyx2的取值范围为32121，.点评利用等系数和线的方法处理向量分解中的系数和问题时，应注意问题中待求和的两个数是否为基底的系数.一般地，已知OCxOAyOB，求axby的问题，可构造基底,OAOB，使得,OAaOAOBbOB，从而将问题转化为以,OAOB为基底的系数和问题.问题三：ABxCDyMN型.例题5.如图8所示，在ABCD中，,MN为CD边上的三等分点，O为AM与BN的交点，,PQ分别为,ABCD边上的动点（不含端点）.若PQxAMyBN，则xy=____________.解法一：如图所示，易知4,4AMOMBNON由于44PQxOMyON设11OQxOMyON则111xy222233OPxOAyOBxOMyON且221xy.1212(3)(3)PQOQOPxxOMyyON故121244334xyxxyy1xy解法二：如图所示，分别平移向量,BNPQ至,ANAQ又PQxAMyBN即AQxAMyAN又,,NQM三点共线故1xy.例题6.如图9所示，在正方形ABCD中，E为AB中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧BD上的一动点.设ACxDEyAP，则xy的取值范围为______________.解：如图所示，过A点作AEDE，连接PE交AC（延长线）于点C则ACxDEyAPxAEyAP故ACxyAC.结合平行线分线段成比例知当P运动到D点时，易知此时5ACACACAM此时5maxxy当P运动到B点时，易知此时12ACACACAN12minxy此时故xy的取值范围为1,52.点评注意等系数和线所描述的结论要求表达式中的三个向量共起点，若起点不一致，则可以考虑利用向量的减法法则或者平移相关向量统一起点.四、结束语通过文中的几个实例，我们可以看到利用等系数和线处理系数和问题的本质是将系数和问题转化为线段的比例问题，其解法高效，直观，甚至有秒杀效果.这也启发我们在平时教学中应充分重视向量的两面性，不应该只单纯地看到向量代数的一面.以上是本人对等系数和线处理系数和问题的一些见解，不正之处，请不吝赐教.