正余弦定理在实际生活中的应用

正余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.1.测量中正、余弦定理的应用例1某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD，求角B.再解ABC，求出AC，再求出AB，从而求出AD（即为所求）.解：由图知，60CAD.22222231202123cos22312031BDBCCDBBCBD，123sin31B.在ABC中，sin24sinBCBACA.由余弦定理，得2222cosBCACABACABA.即2223124224cos60ABAB.整理，得2243850ABAB，解得35AB或11AB（舍）.故15ADABBD（千米）.答：此人所在D处距A还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.2.航海中正、余弦定理的应用例2在海岸A处，发现北偏东45方向，距A为31海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时ACD3121B20203525东北的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD的方位角及由C到D所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为t小时，则有103CDt，10BDt.在ABC△中，∵31AB，2AC，4575120BAC，根据余弦定理可得22(31)222(31)cos1206BC.根据正弦定理可得32sin12022sin26ACABCBC.∴45ABC，易知CB方向与正北方向垂直，从而9030120CBD.在BCD△中，根据正弦定理可得：sin10sin1201sin2103BDCBDtBCDCDt，∴30BCD△，30BDC，∴6BDBC，则有106t，60.24510t小时14.7分钟.所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中正、余弦定理的应用例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为'1830，经过120秒后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m）.分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM和RtBMD中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.解：设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶为M，山顶到直线的距离为MD.如图，在ABM△中，由已知，得1830'A，99ABM，6230'AMB.又12018066060AB（km）,ABDM457530ACDB根据正弦定理，可得6sin1830'sin6230'BM，进而求得6sin1830'sin81sin6230'MD，∴2120MD（m）,可得山顶的海拔高度为20250212018130（m）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用例4我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知6000CD米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A、B、C、D可构成四个三角形.要求AB的长，由于751590ADB，只需知道AD和BD的长，这样可选择在ACD和BCD中应用定理求解.解：在ACD△中，18060CADACDADC，6000CD，45ACD，根据正弦定理有sin452sin603CDADCD，同理，在BCD△中，180135CBDBCDBDC，6000CD，30BCD，根据正弦定理有sin302sin1352CDBDCD.又在ABD中，90ADBADCBDC，根据勾股定理有：222142100042326ABADBDCDCD.所以炮兵阵地到目标的距离为100042米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.5.下料中正余弦定理的应用例5已知扇形铁板的半径为R，圆心角为60，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.304575ACD15解：在图（1）中,在AB上取一点P，过P作PNOA于N，过P作PQPN交OB于Q，再过Q作QMOA于M.设AOPx，sinPNRx.在POQ△中，由正弦定理，得sin(18060)sin(60)OPPQx.∴23sin(60)3PQRx.于是22233sinsin(60)cos(260)cos6033SPNPQRxxRx22313(1)326RR.当cos(260)1x即30x时，S取得最大值236R.在图（2）中，取AB中点C，连结OC，在AB上取一点P，过P作//PQOC交OB于Q，过P作PNPQ交AB于N，过Q作QMPQ交CA于M，连结MN得矩形MNPQ，设POCx，则sinPDRx.在POQ△中，由正弦定理得：sin(18030)sin(30)RRx，∴2sin(30)PQRx.∴2224sinsin(30)2cos(230)cos30SPDPQRxxRx222(1cos30)(23)RR（当15x时取“”）.∴当15x时，S取得最大值2(23)R.∵223(23)6RR，∴作30AOP，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.ABQPOxMN（1）ABQPOxMNED（2）