构造全等三角形的方法-

1构造全等三角形的方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。）1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。画一画。法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。DCBADCBADCBA2、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝ABAE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．23、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD.求证：∠A+∠C=180°ABCD法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证）∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定义），∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。3∵BD是∠ABC的角平分线（已知）DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已证）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定义）∠A＝∠3（已证）∴∠A+∠C＝180°（等量代换）4.如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N12PACSACPM△∵，12PBDSBDPN△，且PACS△PBDS△∴12ACPM12BDPN又∵AC＝BD∴PM＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB∴OP平分∠AOB6.如图，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AEAEDEME公用边，已证，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(MECEEFEF已证，公用边)，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．4二、利用三角形的中线来构造全等三角形（中线加倍法）1.已知：如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AE＝EF．求证：AC=BF.FDABCE简析由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DG＝AD，连结BG，则在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS），所以AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE，又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以AC＝BF．说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形2.已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．ADCEB证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AEBEAECBEFCEEF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BFBDFBCDBCBCBC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．三、利用利用平行线构造全等三角形图1GCFBAED51．△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且ED＝FD,试说明线段BE与CF相等的理由．DBACFEGDBACFEMDBACFENMDBACFE简析由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到EG，所以过点E作EG∥CF，则∠EGB＝∠ACB，∠EGD＝∠FCD，由于ED＝FD，∠EDG＝∠FDC，所以△EDG≌△FDCC（AAS），所以EG＝CF，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EGB，所以EB＝EG，所以BE＝CF．说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低．此题的辅助线还可以有如图所示的其他几种方法。2.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．ABCPQ解答：方法一、证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，∠D=∠C,∠2=∠1，AP=AP,∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．方法二、如图，∴∠CBQ=∠ABC=12×80°=40°，∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ，∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，6过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD=∠CBQ=40°，∴∠CPD=∠ACB=40°，∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵在△ABP与△ADP中，∠ABC=∠ADP，∠BAP=∠CAP，AP=AP∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB=AD，BP=PD，∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP．