第四单元 万有引力定律与航天

第四单元万有引力定律与航天基础整合1.开普勒行星运动定律定律内容图示开普勒第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等温馨提示：（1）开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船环绕行星的运动.（2）第三定律中的k是一个与运动天体无关的量，它只与被环绕的中心天体有关.2.万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.（2）公式：F=221rmGm，G=6.67×10-11N·m2/kg2（3）适用条件：公式适用于两个质点或均匀球体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看作质点，两个质量分布均匀的球体，距离为两球心之间的距离，公式可以使用.物体只在重力作用下的运动3.人造卫星（1）人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地球对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：G2rMm=rmv2=mrω2=22π4Tmr.（2）同步卫星地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期，T=24h，同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的.（h=3.6×104km）（3）三种宇宙速度①第一宇宙速度：v1=7.9km/s，是发射卫星的最小发射速度，大小等于卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度.②第二宇宙速度：v2=11.2km/s，在地球上发射飞行器，使其克服地球引力，离开地球成为行星的最小速度.③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，在地球上发射一个物体，能使物体挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度.4.经典力学的局限性经典时空观中时间、空间都是不变的，牛顿运动定律、万有引力定律适用，相对论时空观中时间、空间随物体速度变化而改变，牛顿运动定律、万有引力定律已不适用，故以牛顿运动定律、万有引力定律为代表的经典力学是有局限性的，只适用于宏观、低速运动的物体，而不适用于微观、高速运动的物体.典例研析类型一：测天体的质量和密度【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为T=301s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球体.（引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）思路点拨：设想中子星赤道处有一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体运转所需的向心力时，中子星才不会瓦解.解析：设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m，则有Tπ2=mω2R，ω=Tπ2，M=34πR3ρ由以上各式得ρ=2π3GT，代入数据解得：ρ=1.27×1014kg/m3.答案：1.27×1014kg/m3方法技巧：求天体的质量或密度的问题有两种情况.（1）已知天体表面的重力加速度g和半径R，利用g=2RGM，得出M=GgR2.（2）围绕天体做圆周运动的卫星（或行星），利用2rGMm=m22π4Tr，可得中心天体的质量M=321)(LmmG.针对训练1－1：最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（）A.恒星质量与太阳质量之比B.恒星密度与太阳密度之比C.行星质量与地球质量之比D.行星运行速度与地球公转速度之比解析：由G2rMm=m（Tπ2）2r，M=232π4GTr，分别由运行时间比和距离比可求出恒星质量和太阳质量之比，再由v=Trπ2可求出各自的运行速度之比.故选A、D.答案：AD.类型二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题【例2】在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体.思路点拨：此题先表示出火星的质量M，再求出其表面的重力加速度，然后利用平抛知识或机械能守恒求第二次落到火星表面时速度的大小.解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有G222π4TmrMm=m′g′，G2rMm=m（Tπ2）2r设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有v12=2g′h，v=2021vv联立以上各式解得v=2020232π8vrThr.答案：2020232π8vrThr方法技巧：本题是万有引力定律与平抛运动相结合的综合题，重力加速度是两部分知识的结合点，这就要求对两部分知识都要有比较清晰的认识.针对训练2－1：据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（）A.0.5B.2C.3.2D.4解析：设人的质量为m，在地球上重力为G地′，在星球上重力为G星′.由G2RMm=G′得R=GGMm，则9606004.6星地地星地星GMGMRR=2，故选B.答案：B.类型三：人造卫星、宇宙速度【例3】土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动.其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=8.0×104km和rB=1.2×105km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用.（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比.（2）求岩石颗粒A和B的周期之比.（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×105km处受到土星的引力为0.38N.已知地球半径为6.4×103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？思路点拨：根据万有引力提供向心力.向心力公式选择有线速度、周期的公式求比可得（1）、（2）两问，根据万有引力与重力的关系可求得（3）问.解析：岩石颗粒绕土星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和万有引力定律得（1）GrvmrMm22，所以v=rMG则岩石颗粒A和B的线速度之比为vA∶vB=rMG∶BrMG=Br∶tnπ2=3∶2.（2）G2rMm=mr（Tπ2）2，所以T=GMr3日地则岩石颗粒A和B的周期之比为TA∶TB=3Ar∶3Br=22∶33.（3）G2rMm=G重，由题意可得：10=G26)102.6(mM地0.38=G3232)(π3RGtRHn，解得地土MM=95即土星质量是地球质量的95倍.答案：（1）3∶2（2）22∶33（3）95倍方法技巧：解决卫星运动问题最基本的公式是万有引力充当向心力，即21221)(rraa=mrω2=mr22121)(rraa=G重，在解题时要根据题目中的条件合理选择公式，能使求解简单.针对训练3－1：据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）A.运行速度大于7.9km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.该卫星可定点于北京的正上方解析：7.9km/s是第一宇宙速度，是所有地球卫星的最大运转速度，A错；同步卫星在地球赤道上空一定高度处，与地球保持相对静止，B对D错；由于同步卫星的周期小于月球绕地球运动的周期，由ω=Tπ2知，同步卫星的角速度较大，C对.答案：BC.类型四：双星问题【例4】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量.（引力常量为G）思路点拨：要抓住双星运动的特点：一是周期、角速度相同，二是半径和双星间的距离关系r=r1+r2.解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有ω1=ω2①r1+r2=r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有G221rmm=m1ω12r1③G221rmm=m2ω22r2④联立以上各式解得m1+m2=ω12（r1+r2）r2/G⑤根据角速度与周期的关系知ω1=ω2=Tπ2⑥联立②⑤⑥式解得m1+m2=GT22π4r3.答案：GT22π4r3方法技巧：认真审题，挖掘隐藏条件，建立相应的物理模型，以确定其运动规律.针对训练4－1：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起.（1）设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L，试证明它们轨道半径之比、线速度之比与质量成反比.（2）试写出它们角速度的表达式.（1）对两天体，由万有引力定律可分别列出221LmGm=m1R1ω2①221LmGm=m2R2ω2②所以1221mmRR，又因为v=Rω，所以122121mmRRvv.（2）由①式得22LGm=R1ω2③由②式得21LGm=R2ω2④R1+R2=L⑤联立③④⑤式得ω=321)(LmmG.答案：（1）见解析（2）ω=321)(LmmG备选例题【例1】太阳距银河系中心约2.5×104光年（天文学中表示距离的单位，即物体以光速运行一年的距离），太阳绕银河系中心的运动可以视为匀速圆周运动，运动周期约为1.7×108年，太阳光照射到地球上需经过500s，由以上数据估算银河系质量大约是太阳质量的多少倍？解析：太阳绕银河系中心做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，即G222π4TmrMmr，得M=232π4GTr设银河系质量为M1，太阳质量为M2，有M1=21312π4GTr，M2=22322π4GTr，2122323121TTrrMM其中r1=2.5×104光年=2.5×104×365×86400cr2=500c，其中c为光速T1=1.7×108年，T2=1年解得21MM=1.4×1011.答案：1.4×1011倍【例2】如图所示，人类选择登陆火星的时间是在6万年以来火星距地球最近的一次，这时火星与地球之间的距离仅有5.58×107km.登陆前火星车在距火星表面H高处绕火星做匀速圆周运动，绕行n圈的时间为t，已知火星半径为R，真空中的光速为c=3.00×108m/s.（1）火星车登陆后不断向地球发送所拍摄的照片，照片由火星传送到地球需要多长时间？（2）若假设地球、火星绕太阳公转均为匀速圆周运动，其周期分别为T地和T火，试证明T地T火.（3）求火星的平均密度ρ.（用R、H、n、t、万有引力常量G表示）解析：（1）设照片从火星传到地球所用时间为t，则t=871000.3105805cxs=186s.（2）设太阳的质量为M，地球的质量为m地、火星的质量为m火，设地球到太阳的距离为r日地，火星到太阳的距离为r日火，由于地球、火星均做匀速圆周运动，所以有：G2日地地rMm=m地22π4地Tr日地，得T地=2πGMr3日地2日火火rGMm=m火22π4火日火Tr，得T火=2πGMr3日火，由于r日地r日火，所以T地T火.（3）设火星车的质量为m，有G2)(HRmm火=m（tnπ2）2（R+H），得m火=2322)(π4GtHRnρ火=