高中函数值域求法大全

中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌1/8做感动中国人的教育函数值域求法小结一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()yfx看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值0y，0y对应的自变量0x一定为方程()yfx在定义域中的一个解，即方程()yfx在定义域内有解；另一方面，若y取某值0y，方程()yfx在定义域内有解0x，则0y一定为0x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程()yfx在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．其他。3．函数值域的求法一、观察法（直接法）（从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。）1、求函数1yx的值域2、求242xy的值域。3、求函数的值域。4、求函数111yx的值域二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数242yxx的值域。中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌2/8做感动中国人的教育、求函数2256yxx（[1,1]x）的值域。三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。1、求函数)4,0(422xxxy的值域。2、已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制。四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。1、求函数11xxeey的值域。中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌3/8做感动中国人的教育、求函数12xxy的值域。五、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222xxxxy的值域。2、求函数2212xxxy的值域。六、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数xxy41332的值域。中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌4/8做感动中国人的教育、求函数212yxx的值域。注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。七、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式）1、求函数122xxxxy的值域。2、求函数231xxy的值域。3、求函数125xyx的值域。注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌5/8做感动中国人的教育八、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13yxx的值域。2、求函数|3||5|yxx的值域。九、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。1、求函数2211xyx的值域。2、求函数1212xxy的值域中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌6/8做感动中国人的教育十、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。1、求函数12yxx的值域。2、求函数xxy1在区间,0x上的值域。3、求函数xxy863的值域。中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌7/8做感动中国人的教育十一、复合函数法：对函数(),()yfuugx，先求()ugx的值域充当()yfu的定义域，从而求出()yfu的值域的方法。1、求函数133xxy的值域2、求函数212log(253)yxx的值域。十二、“平方开方法”求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合采用“平方开方法”的函数特征设()fx（xD）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）()fx的值总是非负，即对于任意的xD，()0fx恒成立；（2）()fx具有两个函数加和的形式，即12()()()fxfxfx（xD）；（3）()fx的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即2212()[()()]()fxfxfxcgx（xD，c为常数），其中，新函数()gx（xD）的值域比较容易求得.中国最大的中小幼儿课外辅导培训品牌8/8做感动中国人的教育“平方开方法”的运算步骤若函数()fx（xD）具备了上述的三个特征，则可以将()fx先平方、再开方，从而得到()()fxcgx（xD，c为常数）.然后，利用()gx的值域便可轻易地求出()fx的值域.例如()[,]gxuv，则显然()[,]fxcucv.1、求函数xxy53的值域2、求函数()fxbxxa（[,]xab，ab）的值域.