合肥工业大学 数学一(第3套)

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷（模拟三）考生注意：本试卷共二十四题，满分150分，考试时间为3小时一．选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)设0lim()xxfx→=∞，且在点0x的某邻域内()gxM≥，其中M是大于零的常数，则当0xx→时，()()fxgx（A）一定时无穷大（B）一定时无穷小（C）的极限一定不存在，且不是无穷大（D）的极限必存在，且为非零常数(2)设222(1)sin()lim1sinxxnxxnxfxnnx→∞+−=+则（A）()fx没有间断点（B）()fx只有第一类间断点（C）()fx只有第二类间断点（D）()fx既有第一类也有第二类间断点(3)设()fx具有任意阶导数，且()()2xxfxxfx′′=++，则点0x=为（A）()fx的极大值点（B）()fx的极小值点（C）()fx′的极大值点（D）()fx′的极小值点(4)设(,)fxy在区域D内具有二阶偏导数，则（A）22ffxyyx∂∂=∂∂∂∂（B）(,)fxy在D内必连续（C）(,)fxy在D内必可微分（D）以上三个结论都不正确(5)对于积分22Lydxxdyxy−+∫v下列结论必定正确的是（A）积分与路径无关（仅与L的起点和终点有关）（B）沿xOy平面内任一条正向闭曲线L都有积分为0（C）沿xOy平面内任两条正向闭曲线1L和2L都有122222LLydxxdyydxxdyxyxy−−=++∫∫vv（D）沿xOy平面内任两条包围原点的正向闭曲线1L和2L有122222LLydxxdyydxxdyxyxy−−=++∫∫vv(6)设函数()fx在[1,1]−上连续可导，则(0)0f′=是级数11()nfn∞=∑收敛的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件(7)设A为n阶方阵，12,λλ是A的两个互异的特征值，22,TAAαλαβλβ==，,αβ为非零的n维列向量，则必有（A）,αβ线性无关，但不正交（B）,αβ既线性无关也正交（C）,αβ线性相关且正交（D）,αβ线性相关但不正交(8)设A是mn×矩阵，Axb=为一非齐次线性方程组，则必有（A）如果mn，则Axb=有非零解（B）如果()rAm=，则0Ax=有非零解（C）如果A有一个n阶子式不为零，则0Ax=只有零解（D）如果A有一个n阶子式不为零，则Axb=有唯一解(9)有一枚骰子连续抛n次，已知至少有一次出现6点，则首次出现6点是在第(1)kkn≤≤次抛出的概率为（A）115665knknn−−−−（B）15665knknn−−−（C）156kn−（D）kn(10)对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:Hμμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A）必接受0H（B）可能接受也可能拒绝0H（C）必拒绝0H（D）不接受也不拒绝0H二．填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。(11)2cossin___sinxxxedxx−−=∫(12)201ln(1)lim___1cosxxxxtdtxt→+=−∫(13)微分方程2(1)20xyxy′′′++=的通解为___(14)设(,)fxy满足222fy∂=∂，且(,0)1,(,0)yfxfxx′==，则(,)___fxy=(15)已知0000100001000010A⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，E是4阶单位矩阵，则23451()___EAAAAA−+++++=(16)设随机变量X和Y的联合分布函数为22220,0,0,01,01(,),01,1,1,011,1,1xyxyxyFxyxxyyxyxy⎧⎪≤≤⎪⎪=≤≥⎨⎪≥≤⎪⎪≥≥⎩或，则1{}___2PX=三．解答题：17～24小题，满分86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)（本题满分10分）（1）求函数1()lnfxxx=+在(0,)+∞内的最小值。（2）若正值数列{}nx满足11ln1nnxx++，证明{}nx收敛，并求limnnx→∞(18)(本题满分11分)利用变换tan()()22cosxttftytππ=⎧⎪−⎨=⎪⎩，求微分方程2222(1)dyxydx+=满足条件000,1xxdyydx====的特解()yyx=(19)（本题满分10分）求级数2111(1)2nnnn∞−−=−∑的和(20)（本题满分11分）计算曲面积分22222222[()][2()]()xzfxydydzyxfxydzdxzadxdyxyz∑+++−++−++∫∫，其中f有连续导数∑是上半球面222(0)xyzaa++=，取上侧。(21)（本题满分11分）已知方程组：131231232030()(2)0xxxxxIxxax+=⎧⎪++=⎨⎪−++=⎩1231231232(3)02()0()2(4)0xxbxxxabxIIxxbx+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩问,ab分别满足何条件时，（1）()I的解都是()II的解，但()II的解不全是()I的解？（2）()II的解都是()I的解，但()I的解不全是()II的解？（3）()I与()II有非零的公共解？并求此非零的公共解。(22)（本题满分11分）已知122332451100013000,.000000000xxAxxaaaxaaxa⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（1）试给出A可逆的条件，并求1A−。（2）当A可逆时，写出二次型()TfxxAx=的矩阵，并给出TxAx为正定的充要条件(23)（本题满分11分）设(,)XY的联合分布律为XY01014a1b14已知事件{0}X=与{1}XY+=相互独立。（1）求常数,ab的值；（2）令,UXYVXY=+=−，求(,)UV的联合分布律；（3）问U与V是否不相关？又是否独立？特别感谢会员pezyl不考研亦为大家热心制作，知识宝库考研社区()代表全体会员致谢!