高考数学解题破题三十六计

第1页共138页高考数学解题破题36计第1计芝麻开门点到成功●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn)1(1，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1，其中x.令221)1(1160130112131nnnCnnCa，则nnalim.［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11的主意.［解Ⅰ］将等式rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1rnCn21)1(1xnCn1111rnnC对此，心算可以得到：n=1，r=0，x=1对一般情况讲，就是x=r+1这就是本题第1空的答案.［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x=r+1.第2页共138页第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项31.［解Ⅱ］在三角形中先找到了数列首项31，并将和数列60130112131na中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an.这个an，就等于首项31左上角的那个21.因为21在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.因此得到nnalim21这就是本题第2空的答案.［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数31，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数21就是问题的答案.事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质.例如从201这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是201这个数的左上角的那个数121.用等式表示就是1211401601201［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.［法1］由rnrnrnnCCnCn111)1(1)1(1知，可用合项的办法，将na的和式逐步合项.221)1(1130112131nnnCnnCa11221242322)1(1)1(1)1(11514131nnnnCnCnCnnCCCC11121242322)1(111514131nnnCnnCnCCCC11222)1(13131nCnCC111)1(121nCnCnn)1(12121第3页共138页［法2］第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即231241302)1(11514131nnnnnCnnCCCCa根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1nnCn，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为21，故1)1(121nnnCna，从而21)1(121limlim1nnnnnCna［法3］（2）将1rx代入条件式，并变形得rnrnrnCnnCCn)1(11)1(111取,1r令,,,3,2nn得1211223121)12(131CCC1312234131)13(1121CCC，1413245141)14(1301CCC………1111211)1(11nnnnCCnnC1112)1(11)1(1nnnCnnCCn以上诸式两边分别相加，得)1(121nnan21［说明］以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1．如图把椭圆1162522yx的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.第4页共138页●参考解答1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.连接P1F2、P2F2、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.2．找“点”——动点P、Q的极限点.如图所示，令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合，动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.显然31111—CBACVV棱柱.∴111—CBACV∶BBAACV11—=21于是奇兵天降——答案为21.［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第2计西瓜开门滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有A.f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）≤2f（1）C.f（0）＋f（2）≥2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.第5页共138页［解一］（i）若f＇(x)≡0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.（ii）若f＇(x)不恒为0时.则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在,1上为增函数；f＇(x)≤0时x≤1.即f（x）在1,上为减函数.此时，选项C、D符合条件.综合（i），（ii），本题的正确答案为C.［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了f＇(x)≡0的可能.以为（x-1）f＇(x)≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x)≡0.［再析］本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］（i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.选项Ｂ、Ｃ符合条件.（ii）f＇(x)≠0.可设f(x)=（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.满足(x-1)f＇(x)=2(x-1)2≥0，而对f(x)=(x-1)2.有f（0）=f（2）=1，f（1）=0选项C，D符合条件.综合（i），（ii）答案为C.［插语］在这类f(x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2.如果在同类中找到了(x-1)4，(x-1)34，自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.［再析］本题以函数（及导数）为载体.数学思想①——“函数方程（不等式）思想”.贯穿始终，如由f（x）=0找最值点x=0，由f（x）0（0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］（i）若f(0)=f(1)=f(2)，即选B，C，则常数f(x)=1符合条件.（右图水平直线）（ii）若f(0)=f(2)f(1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1)f（x）≥0若f(0)=f(2)f(1)对应选项C，D（右图下拱曲线）.则满足条件(x-1)f（x）≥0.［探索］本题涉及的抽象函数f(x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1)f（x）≥0，并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］以下函数f(x)，具有性质(x-1)f（x）≥0从而有f(0)+f(2)≥2f(1)的函数是A.f（x）=(x-1)3B.f（x）=(x-1)21C.f（x）=(x-1)35D.f（x）=(x-1)20052006第6页共138页0［解析］对A，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；对B，f(0)无意义；对C，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；答案只能是D.对D，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1.且f（x）=20052006(x-1)20051使得(x-1)f＇(x)=(x-1)20052006(x-1)20051≥0.［说明］以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f（x）=(x-1)122mn，其中m，n都是正整数，且n≥m.［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［题2］已知实数x，y满足等式369422yx，试求分式5xy的最值。［分析］“最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.［解一］（函数方程思想运用）令kxy5y=k(x-5)与方程369422yx联立消y，得：03625990)94(2222kxkxk根据x的范围3,3x应用根的分布得不等式组：3)49(2903036259990)49(9)3(036259990)49(9)3(0)36259)(49(4)90(22222222222kkkkkfkkkfkkk解得2121k即21≤5xy≤21即所求的最小值为21，最大值为21.［插语］解出21≤5xy≤21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.［解二］（数形结合思想运用）由369422yx得椭圆方程14922yx，5xyk看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直第7页共138页线斜率（图右）.联立)5(369422xkyyx得03625990)94(2222kxkxk令0得21k，故5xy的最小值为21，最大值为21.［插语］这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了.因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.［点评］“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破