随机过程与排队论课程部分习题答案

随机过程与排队论课程部分习题答案第一章1－1解：因为，,)1()1,()1|(=xpxxpxxp其中，∫∞+−−==1)1(λλλedxexpx所以，{=)1|(xxp)1(0−−xeλλ11≤xx，[]λλλ11)1|(1|1)1(+===∫∫∞+−−∞+∞−dxexdxxxxpxxEx1－3解：因为，ydxyeyeyYfyxfyYxfyyyy1)(),()|(0=====∫−−,其中，+∞yyx00所以，[]31|2022ydxyxyYxEy=⋅==∫1－4解：令，{=Y210迷宫第一次选择左边，走出分钟徊第一次选择左边，但徘第一次选择右边561,31,21210===ppp令N为耗子徘徊的时间均值；[]27][65][]|[+====∑NEiYpiYNENEi所以，[]NE＝21。平均徘徊21分钟1－8解：Y的概母函数qZpZZP−=1)(所以，[]()pqpPYE11)1(2'=−==，222][][][pqYEYEYVar=−=1－10证明：（略）1－11解：a）的概母函数为：NS⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−==λλqZpZPGZH1exp))(()(1NS的均值：pqSENλ=][，方差，2)1(][pqqSVarN+=λb）（1）证明：的概率母函数为NS))1(exp())(exp()(−=−+=ZpZpqZHλλλ所以，是均值为NSpλ的泊松分布。（2）)()(),(ySPnNPySnNPnN=⋅====ynynqpynynen−−⋅−⋅⋅=λλλ)!(!!!)!(!ynyqpeynyn−=−−λλ得证（3）!)(),()(),()|(yepySnNPySpySnNPySnNPpyNNNNλλ−⋅=========()ynynqeynq≥−=−−,)!(λλ，证毕1－13解：，且)()('xFxf=[]θλλθθ+==−KeEfx)(*所有,[]λθθθKddfxE=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==0*)(1－15解：[]()22*1)(θθθθ−−−==eeEfx第二章2－2解：naaaaaanpqqppqpqU⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−=2－5证明：（略）2－7证明：（略）2－8解：时间t内通过的小车数，时间t内通过的大车数)(1tN)(2tNa）950.011)1)((36005.01≈−=−=≥−×−eetNP2b）[])(67105710)(|)(1辆=+==tNtNEc）066.0)5)(45)((12＝，＝=tNtNP2－9解：a）顾客到达的时间的分布是均匀分布，所以，3/1)20(=pp＝分钟内到达顾客在开始9/1)202(2=pp＝分钟内到达个顾客在开始b）至少有一个顾客在开始20分钟内到达的概率95)1(12=−−=ppb2－11解：)1)1(exp())(()(qZZZPGtM−−=λ的概母函数：所以，ptPtXtEtMEiλλλ=⋅==)1(][)](['同时，22)2(][)]([ppqtXtEtMVar+==λλ第三章3－1解：1）根据定义，此过程为马氏链。2）一步转移矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100919494009494910010P3－4解：1）根据定义2）一步转移矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=05.05.05.005.05.05.00P3）{}211/102===XXP，{}{}412/3,413/20202======XXPXXP3－5解：（a）为一不可约马氏链，状态{0,1,2}都为常返态。（b）为一不可约马氏链，状态{0,1,2,3}都为常返态。（c）状态{0,2,3,4}为常返态,状态{1}为非常返态。（d）状态{0,1，2}为常返态，状态{3,4}为非常返态。3－6解：()2100100==pf，()()91,61300200==ff3()2101101==pf，()()81,41301201==ff3－7解：，，()100100ppf==()020021001200=⋅+⋅=ppppf()321300qqqf⋅⋅=同理，()101101qpf==，()11201qpf=，()121301qpf=3－10解：一步转移矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=01001010ppPa），，得证⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=ppppP0101001)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=ppppP0101001)4(b）n=奇数：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−==01001010)(ppPPnn＝偶数：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−==ppppPPn0101001)2()(3－13证明：（略）第四章4－1证明：（略）4－4解（1）前向方程：)()()()(,1,1'tptpqtptpjijjijkjkikij⋅−⋅=⋅=++∑μμ后向方程：)()()()(,,1'tptptpqtpjiijiikjkikij⋅−⋅=⋅=−∑μμ（2）证明：（略）（3）均值：tentxE⋅−⋅=μ0)}({方差：)1()}({0tteentxVar⋅−⋅−−⋅=μμ4－5解：（1）前向方程：)()1()(])([)(])1[()(1,,1,'tpjtpajtpajtpjijijiij+−⋅⋅++⋅++⋅−⋅+⋅−=μμλλ后向方程：)()(])([)()()(,1,,1'tptpaitpaitpjiijijiij−+⋅+⋅++⋅−⋅+⋅=μμλλ（2）0)()()('=−−−atMtMμλ4（3）μλμλμλ−−−+=⋅−aeantMt)(0)()(4－7解：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−+−−=)(0)(00)(0221211122bbbbababababaaaQ（2）由福克－普朗克方程解得：)()(21210bababbp+⋅+⋅=；)()(2111bababap+⋅+⋅=；)()(2122bababap+⋅+⋅=；)()(2123babaap+⋅+=第五章5－3解：（1）平衡方程为：{1110)(+−⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅nnnpappapapμλμλμλ其中，1≥μ（2）0)(papnn⋅⋅=μλ，μλ⋅−=ap10（3）存在稳态的条件为1⋅μλa，即μλ⋅a5－4解：（1）)(λμμλ−⋅=aWq（2），被服务n次aapnn⋅−=−1)1(（3）apnWnns⋅=⋅⋅=∑∞=μμ1115－5解：顾客进入加油站得到服务的概率：222111μλμλμλ⋅+++=p；5－9解：（1）32=p；（2）进入系统的顾客中只有32得到服务；（3）97=L；（4）)(127小时==aLWλ；5