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-222464-48212yx22yx2yx22.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质函数表达式开口方向增减性对称轴顶点坐标2axycaxy22hxaya0,开口向上;a0,开口向下.)0(xy直线轴)0,0()0(xy直线轴),0(chx直线)0,(hkhxay2hx直线),(kha0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.;a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.你准备好了吗?原点Y轴x轴直接画函数的图象我们知道,作出二次函数的图象,通过平移抛物线是可以得到二次函数的图象.应该在什么位置作出函数的图象呢?216212xxy2112212xx提取二次项系数22112362126xx配方21182126x整理.36212x解:216212xxy能否转化为上一节课所学知识?顶点式2x21y2x21y216212xxy216212xxy根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.x…3456789………36212xy列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.…7.553.533.557.5…∵a=0,∴开口向上;对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).直接画函数的图象216212xxy2136212xy直接画函数的图象216212xxy描点、连线,画出函数图像.●●●●●●●(6,3)Ox5510216212xxy36212xy问题:1.看图像说说抛物线的增减性。2.怎样平移抛物线可以得到抛物线?216212xxy216212xxy221xy你学会了吗?研究二次函数y=ax2+bx+c的图象,关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)²+k的形式,然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。用配方法求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标.cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa.44222abacabxay函数y=ax2+bx+c的顶点式a2b-x对称轴:x顶点坐标:)aac-b,ab(-4422函数y=ax2+bx+c的顶点式.44222abacabxay),(a4b-ac4a2b-2快速反应:根据公式确定下列抛物线的对称轴和顶点坐标。1.y=-x2-2x2.y=-2x2+8x-8直线x=-1(-1,1)直线x=2(2,0)一般地,因为抛物线的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数有最小(大)值cbxaxy2abx2abac442cbxaxy2例:指出抛物线:254yxx的开口方向,求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。总结:1、“五点”:①顶点坐标②与y轴的交点坐标③与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点④与x轴的交点坐标(有交点时),这样就可以画出它的大致图象。),(cab①y=2x2-5x+3②y=(x-3)(x+2)求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x为何值时y的值最小(大)?xxy232xxy228822xxy34212xxy(4)(3)(2)(1)练习解:(1)a=30抛物线开口向上21233x顶221433y顶11,33顶点坐标为13x对称轴1133xy最小值当时,=-解:a=-10抛物线开口向下2121x顶22141y顶1,1顶点坐标为1x对称轴11xy最大值当时,=xxy22(2)解:a=-20抛物线开口向下8222x顶24288042y顶2,0顶点坐标为2x对称轴20xy最大值当时,=8822xxy(3)解:a=0.50抛物线开口向上4420.5x顶240.534540.5y顶4,5顶点坐标为4x对称轴45xy最小值当时,=-34212xxy(4)归纳知识点:抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(1)a的符号:由抛物线的开口方向确定开口向上a0开口向下a0(2)C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定:交点在x轴上方c0交点在x轴下方c0经过坐标原点c=0(3)b的符号:由对称轴的位置确定:对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0(4)b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定:与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0归纳知识点:简记为:左同右异归纳知识点:抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(5)a+b+c的符号:由x=1时抛物线上的点的位置确定(6)a-b+c的符号:由x=-1时抛物线上的点的位置确定你还可想到啥?例已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,判断以下各式的值是正值还是负值.(1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b;(6)a+b+c;(7)a-b+c.(8)2a-b解:(1)因为抛物线开口向下,所以a<0;判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧,所以02ba,而a<0,故b>0;判断b的符号(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正半轴,即c>0;判断c的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标,且a<0,所以,故。判断b2-4ac的符号,且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;(5)因为顶点横坐标小于1,即12ba判断2a+b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点的纵坐标为正值,即a·12+b·1+c>0,故a+b+c>0;判断a+b+c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为-1时,点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1)+c<0,故a-b+c<0.判断a-b+c的符号1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在()A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是()A.4B.-1C.3D.4或-1CBA4.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则()A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18B5.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()6.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是()xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC函数y=ax²+bx+c的图象和性质:顶点坐标:对称轴:开口向上向下a0a0增减性x-2abx-2abx-2abx-2ab最值当x=-时,2aby有最小值:4a4ac-b2当x=-时,2aby有最大值:4a4ac-b2直线x=-2ab4a4ac-b2-2ab(,)矩形场地的周长是60m,一边长为l,则另一边长为,场地的面积探究用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大?即可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点,也就是说,当l取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.由公式可求出顶点的横坐标.ml260分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l值.S=l(30-l)S=-l2+30l(0l30)lsO51010020015202530也就是说,当l是15m时,场地的面积S最大(S=225m2)1512302abl因此,当时,22514304422abacS有最大值,S=-l2+30l(0l30)
本文标题:y=ax2+bx+c的图像与性质
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