三角模糊数及其应用-

第1章抽样调查数据处理方法及其应用1.3三角模糊数及其应用1.3.1三角模糊数的概念若模糊数a~可由),,(UMLaaa决定，)10UMLaaa，且隶属函数（或特征函数）为：UUMMUUMLLMLLaaxaxaaaxaaxaaaaxaxx00)(~则称a~为规范的三角模糊数，记),,(~UMLaaaa，当UMLaaa时，a~是一个精确数。三角模糊数的分布（特征函数或隶属函数）如图1-3-1所示。在方案评价中，La是（被测试者）最保守（悲观）的估计值（三角模糊数的下界），Ma是最可能的估计值，Ua是最乐观的评价值（三角模糊数的上界）。MULMaaaaα，β为模糊度。若α，β1/2则模糊度过小；若α，β1则模糊度过大；一般取1/2≤α，β≤1较合适。1.3.2三角模糊数的运算性质设),,(~UMLaaaa和),,(~UMLbbbb为两个三角模糊数，则其运算法则如下：（1）加法：),,(~~UUMMLLbabababa（1-3-1）（2）倒数：)1,1,1(~1UMLaaaa（1-3-2）（3）三角模糊数a~的期望值[5]：102/])1[()~(UMLaaaaE（1-3-3）λ值的选择取决于决策者的风险态度。当1λ0.5时，称决策者持偏向乐观的态度（也称决策者是追求风险的）；当λ=0.5时，表示决策者持中立的态度（也表示决策者是风险中立的）；当0λ0.5时，表示决策者持偏向悲观的态度（也表示决策者是厌图1-3-1三角模糊数的分布图aLaMaU恶风险的）。（4）倍数：),,(~UMLaaaa0（1-3-4）（5）距离：21222]})()()[(31{)~,~(UUMMLLbabababad（1-3-5）即为三角模糊数a~到b~的距离。（6）相似度：][311)~,~(UUMMLLbabababas（1-3-6）)~,~(bas越大，则a~与b~相似程度越大。当1)~,~(bas时，则规范三角模糊数a~与b~相等。（7）三角模糊数互补判断矩阵[2][3][4]：设三角模糊数判断矩阵：nnijaA)~(~（1-3-7）其中],,[~UijMijLijijaaaa，],,[~UjiMjiLjijiaaaa若1LjiUijMjiMijUjiLijaaaaaa，5.0UiiMiiLiiaaa，UijMijLijaaa0，Nji,，则称矩阵A~是三角模糊数互补判断矩阵。若由多位专家根据评价目的和评价指标的相关资料，建立关于评价指标间相对重要度的三角模糊数互补判断矩阵，然后用由专家权威性而设定的权重对其进行集结，得到关于评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵元素：),,(~111KkkUijkKkkMijkKkkLijkijawawawa，i、j=1，2，…，n（1-3-8）K是负责确定互补判断矩阵的专家个数；wk指第k专家所打数据的权威性，k=1，2，…，K；],,[~kUijkMijkLijkijaaaa是第k个专家给出的关于第i指标相对于第j指标重要度的三角模糊数表示。可见最终的综合三角模糊数互补判断矩阵nnijaA)~(~是K位专家的判断信息按权威性的集结。三角模糊数互补判断矩阵建立过程为：由专家（评价主体）根据一定标度（常用0.1~0.9标度，如表1-3-1所示），在充分掌握有关评价指标和评价对象信息的条件下分别两两对比评价指标建立。由于考虑到评价主体思维的模糊性，以及评价指标属性有时很难用清晰数进行定量表示或比较，常用三角模糊数表示。上述标度对应的三角模糊数如表1-3-1所示。当然矩阵建立时，专家也可以直接利用三角模糊数建立矩阵，同时根据自己的偏好选择支撑的上界和下界大小。表1-3-10.1～0.9标度的含义（8）三角模糊数互补判断矩阵的期望矩阵：设三角模糊数互补判断矩阵nnijaA)~(~，则称nnijEaEA))~((~（1-3-9）为三角模糊数互补判断矩阵nnijaA)~(~的期望矩阵。显然，矩阵nnijEaEA))~((~是普通的模糊互补判断矩阵。（9）三角模糊数互反判断矩阵[10]：设模糊互补判断矩阵nnijaA)~(~，若记jiijijaah~~~，Nji,，（1-3-10）则矩阵nnijhH)~(~是模糊互反判断矩阵。三角模糊数互补判断矩阵的作用和三角模糊数互反判断矩阵一样都是为避免确定值不科学性，反映考评主体决策的模糊性而提出的，通常都是用来确定评价指标相互间的权重大小或方案间的重要性大小，在进行决策判断时建立哪一种矩阵主要是根据评价者的偏好。值得注意的是为了提高权重计算的可信度和准确性，在建立三角模糊数判断矩阵的过程中，要保证同一建立者前后信息的一致性程度在一定范围内，以及不同建立者偏好一致性也在一定程度内。（10）三角模糊数互补判断矩阵nnijaA)~(~的一致性判断指标[11][12]：（1-3-11）其中，wi是根据和积法处理模糊互反判断矩阵nnjiijaEaE))~()~((得到。一致性判断系数：RICICR/（1-3-12）其中，RI是平均随机一致性指标，来修正CI，可查表所得。若CR0.1，可认为三角模糊数判断矩阵通过一致性检验，若通不过一致性检验要重新建立矩阵，或者进行一致性修改。需要指出的是一般不提倡对一致性进行数学形式的修改，因为是专家打分，因此可信度和准确性是较高的，尤其是指标较少时（一般不超过五个），即使是出现差错也是局部个别出现前后信息不一致，如果采用一致性修正它，虽然满足了一致性的硬性要求，但是那是建立在几乎改变主对角线以外的所有元素，从而就不能真实反映专家的大部分科学判定，当然可由专家重新对矩阵进行检查修改。（11）计算三角模糊数权重记待求三角模糊数权重向量为：)~,,~,~(~21n（1-3-13）其中),,(~UiMiLii，i=1，2，…，n。根据三角模糊数互补判断矩阵nnijaA)~(~来确定w~时，通常按如下原则进行：让评判专家及时修改矩阵，直到满足一致性要求为止。根据矩阵元素的普通集结法（简单加权）计算三角模糊数权重，其计算式为：),,(~111111111ninjLijnjUijninjMijnjMijninjUijnjLijiaaaaaaw（1-3-14）（12）计算三角模糊数总评分值设),,(~UjMjLjj，j=1，2，…，n。利用其对nmijaA)~(~进行数据集结，得每个被评价对象的三角模糊数总评分值。不妨记评价对象总评值的三角模糊数评分向量为：]~,,~,,~,~[~21miTTTTT（1-3-15）其中，],,[~UiMiLiiTTTT，i=1，2，…，m，则根据三角模糊数运算法则得：],,[~111njUijUjnjMijMjnjLijLjiawawawT（1-3-16）排序辅助决策由于不易直接比较iT~之间大小，不妨利用三角模糊数期望值计算式，计算各个评价对象评分值的三角模糊数的期望值，再排序比较大小。为了进一步消除个别评价主体偏好程度过大的不良影响，取λ=0.5，则三角模糊数iT~期望值的计算式：4/)2()~(UiMiLiiTTTTE（1-3-17）根据其值大小排序辅助决策。实例分析某高校要从四位候选中层管理干部中选出一位干部进入高层管理层工作，需要对其进行综合评价排序，然后辅助决策。现由专家和负责部门有关人员组成评价小组进行考核评定。其中三位专家负责建立评价指标矩阵，五位负责按评价指标“德、能、勤、绩”（考评对象的廉政情况通常单独考虑，尤其在高校这种非营利性组织中通常作为一个重要的干部评价和考核因素）等四个方面确定关于评价对象表现的评分矩阵。具体评价过程如下：为了综合考虑三位，建立三角模糊数互补判断矩阵专家的评判信息，每人都建立一个三角模糊数互补判断矩阵，不妨记作：1~A、2~A、3~A（如表1-3-2所示），同时利用式（1-3-11）和式（1-3-12）进行一致性检验。为简化，不妨认为专家权威性一样，取wr＝1/3（r=1，2，3），借助它对三位专家判断信息通过式（1-3-8）进行集结，便得到评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵A~（如表1-3-3所示），并利用式（1-3-11）和式（1-3-12）进行一致性检验。同时根据式（1-3-14）计算出的评价指标的三角模糊数权重值如表1-3-4所示。表1-3-2三位专家建立的三角模糊数互补判断矩阵表1-3-3评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵表1-3-4评价指标的权重表1-3-5是通过式（1-3-8）对五位专家打分信息的集结。其中，专家的权威性同样不妨认为没有区别，因此也取等权重：ws＝1/5（s=1，2，3，4，5），然后根据式（1-3-16）对专家打分信息集结，得到关于每位评价对象的最终的三角模糊数总评分值如表1-3-6所示；最后根据式（1-3-17）计算反映考评对象总体评价水平期望值（如表1-3-7所示）。表1-3-5综合三角模糊数评分矩阵表1-3-6评价对象的三角模糊数总评分值表1-3-7绩效的期望值这时决策者可以根据表1-3-7中考评对象总体评价水平的期望值大小，同时结合考评对象的廉政情况进行综合决策。如果只考虑绩效水平，同时只选拔一个干部，那第一个候选人绩效水平最高，应当选。小结总之，建立的综合评价体系在指标属性为三角模糊数的情况下，不但很好地检验了专家的偏序关系前后判断的一致性，而且最后得到了较满意的评价值的期望值，为决策者提供了有效的决策依据。目前存在一个关键问题，如果建立的矩阵一致性较差，无论在有效的处理方法，得到的评判结果的准确性和可信度也是较低的。因此，再好的方法也无法弥补最初决策者建立判断矩阵时思维的一致性偏离。基于此，在提高准确性同时为了方便决策过程，无论方法一还是方法二，专家有必要按照下列有序传递理论进行判断矩阵的建立和修改。根据互反判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互反判断矩阵nnijaA)(时首先满足式（1-3-18）和式（1-3-19）。k，11)(或kmiikaa（1-3-18）k，11)(或mjkkjaa（1-3-19）根据互补判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互补判断矩阵nnijbB)(时首先满足式（1-3-20）和式（1-3-21）。k，00)(或kmiikbb（1-3-20）k，00)(或mjkkjbb（1-3-21）注：k表示对任意一个k我们不妨通称上述原则为“判断矩阵的有序传递性”。其中式（1-3-18）、（1-3-20）称为“行有序传递性”，式（1-3-19）、（1-3-21）称为“列有序传递性”。通常取m=1，即比较相临两行或两列对应元素。经验告诉我们，在构建多阶判断矩阵时，充分利用此原则不但方便构建过程，而且构建的判断矩阵更加科学。当然，在建立不确定数判断矩阵，只需通过式（1-3-3）把它转化成普通判断矩阵，然后再利用上述原则检验即可。根据判断矩阵一致性的性质，很容易得到以下结论：（1）如果判断矩阵满足有序传递性原则，那专家前后判断信息基本是一致的，即判断矩阵基本满足一致性要求（仍需检验）；（2）反之，专家前后判断信息基本不满足一致，即判断矩阵基本不满足一致性要求，最后决策的可信度和科学性是值得考虑的[19]。这里需要注意的是即使有个别元素不满足上述原则，仍有可能通过一致性检验，但是对同一个专家在构建同一个判断矩阵时，这样所获得的结果是不及判断矩阵完全满足有序传递性而获得的结果更准确（此时会以更小的一致性比例通过一致性检验）。1.3.3三角模糊数群体多评价指标决策的数学模型（1）备选方案集为：},,,{21mxxxX（1-3-22）（2）评价指标（或评价目标）集（评价属性集）