11勾股定理

勾股定理一、勾股定理在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2＋b2=c2．如：已知Rt△ABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=__________．答案：.二、直角三角形的性质（1）两锐角互余；（2）Rt△ABC中，c为斜边，则a2＋b2=c2．（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，，2a．（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，．例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，，∠BCD=30°，求AC的长．解：设BD=x，∵CD⊥AB，∠BCD=30°.∴BC=2BD=2x.在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD2＋CD2=BC2.即.解得x=2.∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3.在Rt△ACD中，由勾股定理有例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y.在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得例3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN．解：连接AM，∵AB=AC，M为BC的中点．∴AM⊥BC．BM=MC=BC=3.在Rt△AMB中，由勾股定理得．设CN=x，则AN=5－x在Rt△ANM中，MN2=AM2－AN2=42－（5－x）2．在Rt△CNM中，MN2=MC2－CN2=32－x2．∴32－x2=42－（5－x）2，解得．．方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC.例4、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2．∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=BD2－DC2=36－9=27．在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2.∵AP=PC．∴AB2=BP2－PC2=27.．例5、如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长．解：如图，延长AD、BC交于点E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°.∴AE=2AB=4.在Rt△ABE中，由勾股定理得.同步测试一、选择题1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若，则AD的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm二、填空题2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c．（1）若a=3cm，b=5cm，则c=__________．（2）若a=8cm，c=17cm，则b=__________．（3）若a︰b=3︰4，c=10cm，则a=__________，b=__________．3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形，如图中所示的正方形A的面积是__________，B的面积是__________．4、在Rt△ABC中，斜边AB=2cm，则AB2＋BC2＋CA2=__________cm2．5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为__________．6、已知：直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，那么斜边上的高为__________．7、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=__________cm．8、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是__________（结果保留根式）．三、解答题9、如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？10、如图所示，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴水珠在这个长方体的顶点C′处，已知长方体的长为6m，宽为5m，高为3m，蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C′处，沿着怎样的路线爬行的距离最短？你能求出这个最短距离吗？答案：1、C2、（1）；（2）15cm；（3）6cm，8cm3、25；2564、85、5cm或6、4.8cm点拨：设斜边上的高为h，．7、点拨：设DE=BE=xcm，则AE=（10－x）cm，∴（10－x）2＋42=x2．8、9、AE2＋242=（40－AE）2＋162，解得AE=16（千米）10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上，则蜘蛛沿对角线AC′爬行距离最短，最短距离是课外拓展例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄，A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：）解：不妨设正方形的边长为1（也可以设为a），则图（1）、（2）中的总线路长分别为AD＋AB＋BC=3，AB＋BC＋CD=3．图（3）中，总线路长为AC＋BD==2.828．图（4）中，延长EF交BC于点H，则FH⊥BC，BH=HC．由∠FBH=30°，BH=及勾股定理，得EA=ED=FB=FC=，FH=．∴EF=1－2FH=1－．此时，总线路长为4EA＋EF=．显然，32.8282.732，∴图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．点评：这里是逐一计算四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案．在方案（4）中注意作铺助线，构成直角三角形，再运用勾股定理．中考解析例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．解析：方法一、（1）如图①（2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二、（1）如图②（2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．例2、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．解析：在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况．①如图1，当时，可求得的周长为32m．②如图2，当时，可求由勾股定理得：，得的周长为③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：，得的周长为