最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编)

高等数学（上）第一章函数与极限1.设3||,03|||,sin|)(xxxx,求).2(446、、、6sin)6(21224sin)4(0222)4sin()4(2.设xf的定义域为1,0，问：⑴2xf；⑵xfsin；⑶0aaxf；⑷axfaxf0a的定义域是什么？（1）；，－的定义域为所以知－11)(,111022xfxx)12(,2)(sin),()12(21sin0)2(kkxfZkkxkx的定义域为所以知由aaaxfaxaax1,)(110)3(－的定义域为所以知－由时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(aaaaaxaaxaaxax3.设111011xxxxf，xexg，求xgf和xfg，并做出这两个函数的图形。1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(xexxeexfgxxxxgfxgxgxgxgfxf从而得4.设数列nx有界,又,0limnny证明:.0limnnnyx结论成立。从而时，有，当自然数即又有对有界，..0)(,0,0lim,,0MMyxyxMyNnNyMxnMxnnnnnnnnn5.根据函数的定义证明:⑴813lim3xx8)13(lim813303,033,33813,03xxxxxxx所以成立时，恒有，当＝取故即可。只要要使(2)0sinlimxxx0sinlim,0sin11,sin,0322xxxxXxXxxxxx所以成立时，恒有当，即可。故取只要要使6.根据定义证明:当0x时,函数xxy21是无穷大.问x应满足什么条件时,才能使?104y即可。只要要使所以成立时，有，当＝故取即可。只要要使2101,1021lim210221,211221,0440xyxxMxxxMMxMxxxxMx7.求极限:⑴13lim223xxx=0⑵hxhxh220lim=xhhxhh2)2(lim0⑶13lim242xxxxx=0(4)2121limnnn=212)1(lim2nnnn(5)311311limxxx=1)1)(1(31lim221xxxxxx(6)223222limxxxx=8.计算下列极限:⑴xxx1sinlim20=0⑵xxxarctanlim=0arctan.1limxxx9.计算下列极限:⑴xxxsinlim0=.sinlim0xxx⑵xxx3tanlim0=33cos1.3sinlim0xxxx⑶xxxxsin2cos1lim0=2sin.sin2lim20xxxx(4)xxx321lim=6620)21(limexxx（5）xxx1021lim=22.210)21(limexxx（6）xxxx13lim=21)2.(21)121(limexxx10.利用极限存在准则证明:⑴11211lim222nnnnnn22222221211nnnnnnnnnn,1lim22nnnn又1lim22nnn故原式＝1⑵数列,222,22,2的极限存在,并求其极限.2lim)(1,222,lim,lim2222,2,22.222,,2222.1,...3,2,21111011111201nnnnnnnnnkkknkkkkkknnxaaaaxxaxxxxxxxxxxxxxxxxxnxx舍去所以知由设所以有界。故则假设再证有界。单调递增。故则假设先证单调。解：11.当0x时,22xx与32xx相比,哪一个是较高阶的无穷小?23220023(1)limlim02(2)0xxxxxxxxxxxxx当时，是较高阶的无穷小。12.当1x时,无穷小x1和2121x是否同阶?是否等价?.所以同阶且等价13.证明:当0x时,有2~1sec2xx.222000220211sec12(1cos)1coslimlimlim.cos224sin12lim.1cos0sec12xxxxxxxxxxxxxxxxx当时，14.利用等价无穷小的代换定理,求极限:xxxx30sinsintanlim.211211-(1)(1)2limlim112(1)1xxxxxxxxxx（）1当时，(1-)1-223330001()tansintan(1cos)2limlimlimsinxxxxxxxxxxxx1==215.讨论201212xxfxxx的连续性,并画出其图形.211(10)lim1(10)lim(2)1(1)1,()1.,()[0,2].xxfxfxffxxfx又在处连续总之在上连续16.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续.⑴2,123122xxxxxy2211122221(1)(1)limlim232(1)(2)1,:2.1(1)limlim,32(2)2.xxxxxxxxxxxxxyxxxxxx为可去间断点补充定义即可为无穷间断点⑵11311xxxxxy1xy=01111limlim(1)0limlim(3)21.xxxxyxyxx为其跳跃间断点17.讨论函数xxxxfnnn2211lim的连续性,若有间断点,判别其类型。221,11lim0,111,11,(10)1,(10)11.1,(10)1,(10)11.nnnxxfxxxxxxffxxffx在处为跳跃间断点在处为跳跃间断点18.求函数633223xxxxxxf的连续区间,并求xfxfxx30lim,lim.5821lim)2)(3()1)(3(lim)(lim21)(lim22333,206232330212xxxxxxxfxfxxxxxxxx），＋（），（－），－连续区间为（－得：由19.求下列极限：⑴52lim20xxx=5⑵32sinlim4=1⑶xxxsinsinlimcos2cos2sin2limxxxx⑷xxxxx22lim12lim22xxxxxx⑸xxe1lim101limeexx⑹xxxsinlnlim001lnsinlimln0xxx⑺211limxxx21211)11(limexxx20.设函数00xxaxexfx,应怎样选择a，使xf在,内连续。）内连续，＋在（－时，)(11lim)00()0(0xfaefafxx21.证明方程bxaxsin其中,0,0ba至少有一正根，并且它不超过ba..0)(),0(,0)(;,0)(0)sin()sin()(0)0(0)(sin)(bafbabafbabafabaababbaabafbfbaxfxbxaxf超过方程至少有一正根且不使若＝取若上连续，在显然，证明：令22.若xf在ba,上连续，bxxxan21,则在nxx,1上必有,使nxfxfxffn21.nxfxfxffxxMnfmnMfnmniMxfmmMxxxfnnniiniin)(...)()()(,)()(,...,2,1,)(,)(211111使由介值定理，即，使与最小值最大值连续，在证明：23.证明:若xf在,内连续,xfxlim存在,则xf必在,内有界.内有界。在，即，有则对，＝取使即上连续，故有界在又即成立时，有当，，对证明：设),()()(),(1,max)(,,)(1)(,1)(1)(lim111xfMxfxAMMMxfMXXxfAxfAxfXxXAxfx第二章导数与微分典型例题解析例1设()fx在0x处可导，求000()(3)limxfxxfxxx．分析所求极限与0()fx的定义式子很相似，则由0()fx的定义即可求解．解000()(3)limxfxxfxxx=00000[()()][()(3)]limxfxxfxfxfxxx=000000()()(3)()lim3lim3xxfxxfxfxxfxxx=00()3()fxfx=04()fx．错误解答令03xxt，则03xxt，000()(3)limxfxxfxxx=0(4)()limxftxftx=04lim()xft（1）=004lim(3)xfxx=04()fx．（2）错解分析式（1）用到()fx在点t的导数；式（2）用到()fx在点0x连续．但是题目只是给出()fx在0x处可导的条件，而()fx在0x的邻域内是否可导以及()fx在0x处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．例2设()()()fxabxabx，其中()x在(,)上有定义且在点a处可导．试求(0)f．分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数()fx的可导性未知，故只能用定义来求．解当0b时，0()(0)lim0xfxfx=0()()limxabxabxx=0[()()][()()]limxabxaabxax=00()()()()limlimxxabxaabxabbbxbx=()()baba=2()ba．所以(0)f=2()ba．当0b时，()0fx，(0)0f．综上所述，(0)f=2()ba．例3设函数2()()()fxxax，其中()x的一阶导函数有界．求()fa．分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数()fx的可导性未知，故只能用定义来求．解由于2()2()()()()fxxaxxax，则有()0fa．又()()limxafxfaxa=22