【新教材人教A版数学第一册】第1章-1.4-充分条件与必要条件

充分条件与必要条件新课程标准核心素养1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.数学抽象、逻辑推理2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.数学抽象、逻辑推理3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.数学抽象、逻辑推理[问题导入]1．什么是充分条件？2．什么是必要条件？3．什么是充要条件？预习课本P17～22，思考并回答下列问题[新知初探]知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系PqP____q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件⇒[想一想]1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p⇒q.2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的．[做一做]1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．()(4)“x1”是“x0”的充分条件．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．设集合M＝{x|0x≤3}，N＝{x|0x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”)答案：必要3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)答案：充分知识点二充要条件1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．2．若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．3．若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．4．若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．[想一想]1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[做一做]1．“x2”是“1x－20”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案：充要[名师点津]1．充分条件、必要条件的理解(1)对“推出”的正确理解对于命题p：x2，q：x1.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．2．对充要条件的理解(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．充分、必要、充要条件的判断[例1](链接教材P18例1，P19例2，P21例3)下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy0，q：x0，y0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.所以p是q的充分不必要条件．(3)因为xy0时，x0，y0或x0，y0.故pq，但q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．(4)因为四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分又不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．[跟踪训练]1．(多选)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是()A．“a2b2”是“ab”的充分条件B．“a2b2”是“ab”的必要条件C．“ac2bc2”是“ab”的充分条件D．“|a||b|”是“ab”的既不充分也不必要条件解析：对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2b2，但是ab，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足ab，但是a2b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2bc2得c≠0，则ab成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a||b|成立，但是ab，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足ab，但是|a||b|，所以必要性也不成立，故“|a||b|”是“ab”的既不充分也不必要条件．故选C、D.答案：CD2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．(1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件.充分条件与必要条件的应用[例2]已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解]p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≤10，解得m≤3.又m0，所以实数m的取值范围为{m|0m≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10.解得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．若p是q的充要条件，则－2＝1－m，10＝1＋m，方程组无解．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[例3](链接教材P23T5)已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.[证明]充分性：若a＋b＝1，则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0.∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，必要性成立，综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[提醒]证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．[跟踪训练]证明：[随堂检测]1．设x∈R，则“1x2”是“1x3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：“1x2”⇒“1x3”，反之不成立．∴“1x2”是“1x3”的充分不必要条件．故选B.答案：B2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.答案：B3．设a，b是实数，则“a＋b0”是“ab0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b0，取a＝3，b＝－2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b0也不成立，因此“a＋b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件．答案：D4．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝2－x”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由q：“x－2＝2－x”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．所以p是q的充要条件，故选C.答案：C5．已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围．解：因为－a＜x－1＜a是p：－1＜x＜3的一个必要条件，且－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a，所以{x|－1＜x＜3}⊆{x|1－a＜x＜1＋a}，所以1－a≤－1，1＋a≥3，1＋a＞1－a.解得a≥2，则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b2.“扣课标·素养提升”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)谢谢！