理论力学--空间简单力系

MechanicsofTheory理论力学第二章空间简单力系2020年9月23日理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系第二章空间简单力系§2-1力的投影·合力投影定理§2-2空间汇交力系合成与平衡条件§2-3力对点之矩和力对轴之矩§2-4力偶和力偶矩（矢量）§2-5空间力偶系合成与平衡条件理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。空间汇交力系空间力偶系理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系空间汇交力系与空间力偶系习惯上称为空间简单力系，它们是研究复杂力系的基础，空间任意力系理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系一、力的投影§2-1力的投影合力投影定理zFxyO1.一次投影法coscoscosxyzFFFFFF（2-1）理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系sinxyF=F2.二次投影法FzFxFyzxFyFxy(2-2)sincossinsincosxyzFFFFFF(2-3)理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系如果力F在x，y，z三轴上的投影Fx，Fy和Fz为已知，则可求得力F的大小和方向余弦为222cos,cos,cosxyzyxzFFFFFFFFFF(2-4)理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系力在坐标轴上的投影为代数量与力的分量为矢量是两个不同的概念。cossinxyFFFF22coscos=xyxyFFFFFFF当力F的作用线位于xy平面内时，Fz=0，此时空间力投影成为平面中力的投影：理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即二、合力投影定理R12R12Rz12xxxnxixyyynyiyzznzizFFFFFFFFFFFFFFF(2-5)理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系证明：123,,,xxxRxFabFbcFcdFad因,故cdbcabad123xxxRxFFFF同理可得123yyyRyFFFFyoxbdCABDcaFRF3F1F2oF2F3F1理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系解：sin,coszxyFFFFcoscoscossincossinxxyyxyFFFFFF例2-1图示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）和压力角，试求力F在x、y、z轴上的投影。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系一、空间汇交力系合成与平衡的几何法（矢量法）§2-2空间汇交力系合成与平衡条件1.平面汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4合力的表达式：AF2F1F4F3理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系各力矢首尾相接，形成一个开口的多边形，称为力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。力的多边形法则eaF2F1F4F3FRbcdeaF2F1F4F3FRbcd改变力多边形中的各力顺序，合力的大小和方向、作用点不变。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系2.空间汇交力系合成的几何法与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。niin121RFFFFF即：合力等于各分力的矢量和。几何法对空间力系不方便，一般不用。（2-7）理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为R0iFF(2-8)3.空间汇交力系平衡的几何条件平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2-2门式刚架如下图所示，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架自重，求支座A、D的约束力。FBADC8m4mFBADCFDFAθcabFAFDθFFD=bc=10kNFA=ca=22.5kN，θ=26.5°理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系代入式（2-7）后得(1,2,,)ixiyiziFFFinFijk(2-9)RixyzFFFFFijk(2-10)合力FR在坐标轴上的投影为,,RxxRyyRzzFFFFFF(2-11)合力FR可用解析式表达为二、汇交力系合成与平衡的解析法niin121RFFFFF理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系合力的大小及方向余弦为222222RRRRRRR()()()cos,cos,cosxyzxyzyyxzxzFFFFFFFFFFFFFFFFFFF(2-12)空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零，即0RFF(2-13)理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系由（2-12）式可得平衡方程为000xyzFFF(2-14)（1）对于平面汇交力系，则第三个方程恒等，独立的平衡方程只有两个。（2）投影轴是可以任意选取的，只要这三个轴不共面以及它们中的任何两个轴不互相平行。00xyFF理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系N3.12945cos45cos60cos30cos4321RFFFFFFixxN3.11245sin45sin60sin30sin4321RFFFFFFiyyN3.1712R2RRyxFFF7548.0cosRRxFFθ6556.0cosRRyFFβ01.49,99.40βθ解：例2-3平面共点力系,已知,，，，求：此力系的合力。N2001FN3002FN1003FN2504F理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体选取最好含题设的已知条件。2.画受力图。3.列平衡方程求解。重点掌握汇交力系合成及平衡条件应用的解析法。归纳理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2.4图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。解:1）取研究对象—力系的汇交点A；AQ3）建立坐标系；yx4）列出对应的平衡方程：600CBAQ30000sin60sin300BCFF5）联立求解：2）画受力图；00cos60cos30-0BCFFQ0,xF0,yFB=15kN,26kNCFF理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2.5水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。解:1）选取刚架为研究对象；2）画受力图；FAFADCByxFD5aFADCBa2a理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：0,cos0xAFFF0,sin0yADFFF2cos5aasin5aa5,2AFF2DFFFA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。FAFADCByxFD5a理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2.6支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以及支杆的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F作用在梁中间，即AD＝DB，且F＝15kN，支杆BC与水平横梁成30o角。设横梁和支杆的重量忽略不计，试求铰链A的约束力及支杆BC所受的力。解:1）取横梁AB为研究对象，画受力图；CBADF30xEBFAFBAD30y30F理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系2）列平衡方程，建立Axy坐标系；3）联立求解。xEBFAFBAD30y30F0,cos30cos300xABFFF0,sin30sin300yABFFFF15kNABFFF理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系F60ABCDaaFyxCF60ABCAF45例2.7边长为a的直角弯杆ABC的A端与固定铰链支座联结，C端与杆CD用销钉联结，而杆CD与水平线的夹角为60o，略去各杆的重量。沿BC方向作用已知力F=60N。试求A，C两点的约束力。解:1）取ABC为研究对象，受力图如图。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系FyxCF60ABCAF452）列平衡方程；3）联立求解。A=-53.79N,43.92NCFFFCF75ABCAF45正值表示受力图中所假设的指向与真实的方向一致;负值表示受力图中所假设的指向与真实的方向相反。0,xFsin45cos600ACFFFsin60cos450CAFF0,yF注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系060cos30cos,0030cos60cos,02121FFFFFFFFBCyABx解方程得杆AB和BC所受的力:kN32.27366.1kN321.7366.0PFPFBCBA解：由滑轮B的平衡。显然，F1=F2=P例题2-8如图，P=20kN,求AB、BC两杆受力。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系答案：理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2.9杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物F。如图2.15a所示。各杆的自重不计，且α＝45o，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。解:1）取铰链O为研究对象，受力图如图。OCBAWOyzxFCFBFAW理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系2）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。0,sinsin0xBCFFF0,sincoscos0yABCFFFF0,cos0zATFFF2coscos45TAFFFF22BCFFFFA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，即AO杆受压。OyzxFCFBFAW理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系例2-10如图所示。起重机吊起重物,连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。xzy30oαABDGCEFF1F2F3045sin45sin,021FFFx3120,sin30cos45cos30cos45cos300yFFFF1230,cos45sin30cos45sin30cos300zFFFFG解出1233.54kN8.66kNFFF理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系§2-3力对点之矩和力对轴之矩用扳手拧螺母一、力对点之矩力F使物体绕o点转动的效应，用乘积Fd来度量。称为力F对点o之矩，简称力矩，用表示。)(FMoOAFB1.平面力对点之矩理论力学河南理工大学力学系第二章空间简单力系力矩的正负号：逆时针方向转动为正，反之为负。FdFMo)(o点称为矩心；o点到力线的垂直距离d,称为力臂。也可表示为MO(F)=±2⊿AOBOAFB应注意：平面力对点之矩只取决于力矩的大小及