函数的单调性专题

大东方学校高2016级高一《函数的单调性、奇偶性》专题2014.10.19第页1函数的单调性、奇偶性及其应用一、函数单调性及应用单调性是定义域上的局部性质；会用定义法证明或讨论单调性问题；会求单调区间及复合函数的单调性及含参问题；会利用单调性的串脱功能比较大小、解函数不等式、求值；会解决有关抽象函数的单调性问题，等等。求单调区间、证明单调性及单调性的含参问题必须注意函数的“定义域优先原则”！例1．（1）函数2()32fxxx的单调递增区间是______________________。（2）函数254yxx的增区间为（）(,2]A．[5,2]B．[2,1]C．D．(-,+)（3）求函数2()1xfxx的单调区间。（4）若函数2()2(1)2fxxax在(,4)上是减函数，则实数a的取值范围是（）3Aa．3Ba．5Ca．3Da．（5）①讨论函数()(0afxxax的常数）的单调性；②已知函数2()(0afxxxx，常数)aR，若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围。（6）已知函数()3fxax在[0,2]x上是减函数，则实数a的取值范围是___________。（7）若函数()2afxxax在区间[1,)上是增函数，求实数a的取值范围。例2．（1）已知()fx为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（）A·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(11)，B·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(01)，C·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(10)(01)，，D·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(1)(1)，，（2）函数()fx在(0,)上是减函数，比较2(1)faa与3()4f的大小关系。（3）实数,xy满足3(1)2007(1)1xx，且3(1)2007(1)1yy，求xy的值。大东方学校高2016级高一《函数的单调性、奇偶性》专题2014.10.19第页2例3．定义在R上的函数()fx满足：对任意,abR，都有()()()fabfafb，且0x时，()1,(0)0fxf。（1）求(0)f的值；（2）证明：对任意的xR，恒有()0fx；（3）求证：()fx是R上的增函数；（4）解关于x的不等式：)(1)1()(Rmxmfxf。例4．已知定义在正实数集R上的函数()yfx满足：①对任意,abR，有()()()fabfafb；②当1x时，()0fx；③(3)1f。（1）证明函数()yfx在R上为单调减函数；（2）若集合2(,)(1)(5)20,,ApqfpfqpqR，集合1(,)()0,,2pBpqfpqRq。试问是否存在,pq的值，使AB，若存在，求出,pq的值；若不存在，请说明理由。二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数定义域上的整体性质。要求会判断函数的奇偶性（注意定义域的对称性），会用函数奇偶性的转移功能求值、求解析式、求最值、求参数、与单调性结合串脱解不等式等。例1．判断下列函数的奇偶性：（1）4233()32fxxx；（2）1()(1)1xfxxx；（3）32()(1)3(1)2fxxx；大东方学校高2016级高一《函数的单调性、奇偶性》专题2014.10.19第页3（4）22()11fxxx；（5）2225(0)()0(0)25(0)xxxfxxxxx；（6）2()lg(1)fxxx。例2．（1）()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件（2）设()fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（）（A）()()fxfx是奇函数(B)()()fxfx是奇函数（C）()()fxfx是偶函数(D)()()fxfx是偶函数例3．（1）已知53()8fxxaxbx，且(2)10f，则(2)f____________。（2）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()231fxxx，求()fx的解析式。（3）已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf。变式：定义在R上的奇函数()fx，当0x时，()2xfx。（1）求()fx的解析式；（2）作出()yfx的图象；（3）写出()yfx的值域。（4）如果奇函数)(xf在区间［1，4］上是增函数且最大值是5，那么)(xf在区间［-4，-1］上是（）A．增函数且最大值为-5B．增函数且最小值为-5C．减函数且最大值为-5D．减函数且最小值为-5（5）若(),()fxgx都是奇函数，()()()2Fxafxbgx在(0,)上有最小值5，求()Fx在(,0)的最值。（6）已知函数1,21xfxa，若fx为奇函数，则a________。（7）函数22()||axfxxaa为奇函数的充要条件是________________（8）设2()lg1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是（）Ａ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(10)，Ｂ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(01)，Ｃ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(0)，Ｄ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(0)(1)，，练习：1．设定义在区间2222,2aa上的函数xxxf33是奇函数，则实数a的值是_______________________。2．设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a。大东方学校高2016级高一《函数的单调性、奇偶性》专题2014.10.19第页4例4．（1）已知函数xfy是定义在[2,2]上的偶函数，当[0,2]x时xf是单调减函数，则不等式1xf＞xf21的解集是_________________________。练习：已知定义在R上的偶函数()fx在(,0]上是增函数，若2(1)(1)ffxx，则x的取值范围是______________。（2）已知()fx是奇函数，且当0x时2()41fxxx，则满足()2fx的x的取值范围是_____________________________。（3）（清北班做）已知定义域为R的函数()fx在(8)，上为减函数，且函数(8)yfx为偶函数，则（）Ａ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(6)(7)ffＢ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(6)(9)ffＣ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(7)(9)ffＤ·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(7)(10)ff（4）已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。①求,ab的值；②若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围。（5）已知()fx是定义在R上的函数，对任意的,mnR恒有()()()fmfnfmn，当0x时，()0fx恒成立，且(1)2f。①判断()fx的奇偶性和单调性；②求()fx在[3,3]x的值域；③解关于x的不等式22()2()()2()faxfxfaxfa。