八年级下学期专题培优

-1-八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．【问题3】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线1l、2l的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理lABlPBAlBAlPB'ABl1l2Pl1l2NMP''P'Pl1l2NMP'Q'QPl1l2PQ-2-直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线l上求两点M、N（M在左），使aMN，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理在1l上求点A，在2l上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于1l的对称点P＇，作P＇B⊥2l于B，交2l于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理A为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于2l的对称点A＇，作点B关于1l的对称点B＇，连A＇B＇交2l于M，交1l于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PBPA＝0．【问题10】作法图形原理mnMNA'BAlaABMNmnABMNlA''A'BAMNl1l2ABP'Pl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNA'B'ABlBAlPBA-3-在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBPA≤AB．PBPA的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBPA≤AB＇．PBPA最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。2.垂线段最短。3.斜边大于角边。4.三角形任两边之和大于第三边。二、线段最值常用的方法：（一）作对称点例：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。练习:1．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_____________。lBAlPABlABlBPAB'ABCPEDCBADACBEP-4-2．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，求PM+PN的最小值。3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．5．如图，在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，求BM+MN的最小值。6．-5-（二）找中点，找不变线段。例：如图,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,点P为AC上一动点,连BP,CM⊥BP,求AM的最小值。练习：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．B．C.2D.3（三）构造全等三角形例：-6-练习：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，△AMB≌△ENB。求证：（1）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小。②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由。（2）当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长。补充练习1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．32C．32D．43.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．-7-4．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．65．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为．1．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC于点D，过点M作ME⊥CB于点E，求线段DE的最小值．ADEPBCCADBMN-8-