2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.3xfxa，41limln12nfffnn2.25001lim1xtxxedtx3.1202arctan1xdxx4.已知点4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)ABC,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为5.设由yzxze确定(,)zzxy，则,0edz6.函数2,xfxyeaxby中常数,ab满足条件时，1,0f为其极大值.7.设是sin(0)yaxa上从点0,0到,0的一段曲线，a时，曲线积分222yxydxxyedy取最大值.8.级数1111npnnnn条件收敛时，常数p的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3三.（10分）曲线的极坐标方程为1cos02，求该曲线在4所对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.四（8分）设()fx在,上是导数连续的有界函数，1fxfx，求证：1.,fxx五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)zxyz被平面340xz截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，(2,0,23),(1,0,3)AB为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面221(0)xyz被柱面222zxx截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，(1,0,5),(1,0,1),1,0,0ABC为上的三点，将沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.六（10分）曲线220xzy绕z轴旋转一周生成的曲面与1,2zz所围成的立体区域记为，本科一级考生做2221dxdydzxyz本科二级考生做222xyzdxdydz七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21nnnax的收敛域为1,1，求证幂级数1nnnaxn的收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数2112nnnnx的收敛域与和函数