最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕

习题二包括题目：P36页5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页1(1)(2);3;5;6;14；15(1)1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14.设22121212()(6)(233)fxxxxxxx,求点在(4,6)T处的牛顿方向。解：已知(1)(4,6)Tx，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)xxxxxxxfxxxxxxxx∴(1)1344()56gfx21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)xxxxxxxfxxxxxxxx∴(1)2(1)1656()()564Gxfx(1)11/8007/400()7/4001/200Gx∴(1)(1)11141/100()574/100dGxg15（1）解如下15.用DFP方法求下列问题的极小点（1）22121212min353xxxxxx解：取(0)(1,1)Tx，0HI时，DFP法的第一步与最速下降法相同2112352()156xxfxxx，(0)(1,1)Tx，(0)10()12fx(1)0.07800.2936x，(1)1.3760()1.1516fx以下作第二次迭代(1)(0)11.07801.2936xx，(1)(0)18.6240()()13.1516fxfx0110111011101TTTTHHHHH其中，111011126.3096,247.3380TTTH111.16211.39451.39451.6734T，01101174.3734113.4194113.4194172.9646TTHH所以10.74350.40560.40560.3643H(1)(1)11.4901()0.9776dHfx令(2)(1)(1)1xxd，利用(1)(1)()0dfxdd，求得10.5727所以(2)(1)(1)0.77540.57270.8535xxd，(2)0.2833()0.244fx以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599xx，(2)(1)21.0927()()0.9076fxfx221.4407T，2121.9922TH220.72830.47780.47780.3135T12211.39360.91350.91350.5988THH所以22122121222120.46150.38460.38460.1539TTTTHHHHH(2)(2)20.2246()0.1465dHfx令(3)(2)(2)2xxd，利用(2)(2)()0dfxdd，求得21所以(3)(2)(2)11xxd，因为(3)()0fx，于是停止(3)(1,1)Tx即为最优解。习题四包括题目：P95页3；4；8；9(1)；12选做；13选做3题解如下3.考虑问题21),(2)(min21xxxfsxx，其中.10,1),(1),(2121222121xxxxxxxxSTT（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；（3）分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4321TTTTxxxx指出哪些约束是紧约束和松约束。解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。（2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点51,52P，此点即为最优解Tx)51,52(，解得最优值5f（3）对于区间集S可以简化为g1:012221xxg2:02x对于点Tx)0,1(1，g1和g2均为该点处的紧约束；对于点Tx)1,1(2，g1和g2均为该点处的松约束；PO1x1x2x2=2x1xp11/2虚线1对于点Tx)0,0(3，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束；对于点Tx)1,0(4，g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。4题解如下4.试写出下列问题的K-T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：（1）;12min2221xxs.t.012221xx（2）;12min2221xxs.t.092221xx（1）解：非线性规划的K-T条件如下：02222422121xxxx（1）0)1(2221xx（2）0（3）再加上约束条件012221xx（4）为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：①若（4）式等号不成立，即012221xx，那么由（2）式得0，将0代入（1）式解得21x，12x，所得值不满足012221xx的条件，故舍去。②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得121x，112x，代入（4）式有：1111222解得5151或因为0，所以51，那么521x，512x，满足以上所有条件。综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：Tx)51,52((2)解：非线性规划的K-T条件如下：02222422121xxxx（1）0)9(2221xx（2）0（3）再加上约束条件092221xx（4）为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：①若（4）式等号不成立，即092221xx，那么由（2）式得0，将0代入（1）式解得21x，12x，所得值满足以上所有约束。②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得121x，112x，代入（4）式有：9111222解得351因为0，所以所得值均舍去，该情况不成立。综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：Tx)1,2(8题解如下8考虑问题Minx12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3S.t.X1+x2+x3=2（1）-x1+2x2≤3（2）X1,x2,x3≥0（3）求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a0，使对∀t∈（0，a）能有X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T也能满足所有有效约束：(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2td3≥0经整理即为d1+d2+d3=0d3≥0满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T均为可行方向。现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=-d3得d1+d2=-1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向d=（1，-2，1）T考虑下降性由题可知：将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C从而▽f=QX+b即2101614022000312xfxx▽f（1,1,0）=（-3,3，-12）因为▽f（1,1,0）Td=-210表明d=（1,-2，1）T为原问题在x=（1,1,0）T处的一个下降可行方向9题解如下9用lemke算法解下列问题：（1）min2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2S.t.X1+x2≤2X1+5x2≤5X1,x2≥0解：4224H，46c，1115A，25b于是00110015114215M，2546q，1212yywvv，1212uuzxx与本题相应的线性互补问题为：W-MZ=qW≥0,Z≥0WTZ=0写成表格为W11W22W33W44Z15Z26Z37Z48qdi01000001120100001550010-1-1-42-40001-1-52-4-6由于右端有负数，所以加一人工变量W0，表格改为W11W22W33W44Z15Z26Z37Z48W09qdi010000011-1201000015-150010-1-1-42-1-40001-1-52-4-1-6选择与max{-qi}=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转，得JBiW11W22W33W44Z15Z26Z37Z48W09qdi01100-115-15082010-115-190113001-104-66029000-115-2416由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有Min{8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6故选相应的第3行第8列元素作主元，再进行旋转，得JBi123456789di0110-5/6-1/6110/640038/6201-9/63/61-180088001/6-1/604/6-1102/6900-4/6-2/6114/620128/6由于W0仍在基变量中，故继续运算.由于这时仅有W3，Z3这一对变量全不在基中，故仍在它们之中选一变量进基，由于是第一次从这一对变量选取，故也选Z3进基，再由Min{38/6/4,8/8，28/6/2}=8/8故选第二行第7列元素作主元，进行旋转，得JBi123456789di011-1/2-1/12-5/121/213/60007/3701/8-3/161/161/8-1/81001801/8-1/48-5/481/813/240104/390-1/4-7/24-11/243/431/120018/3再继续，得JBiy11y22V13V24u15u26X17X28W09di011-9/3149/62-1/31-4/31000-26/31-208/93707/62-59/2485/1245/310103/6235/318011/62-147/744-3/3729/124001-13/6224/3160-3/31-25/62-11/629/3110012/3132/31在上表中W0已被置换出基，即得到了相应线性互补问题的解，也就是所求二次规划的最优解：y1=-208/93，x1=35/31，x2=24/31，u2=32/31，y2=v2=v2=u1=0,即x*=（35/31,24/31）T12题解如下12.(1）外点法min)(fx2221xxs.t.11x解：定义惩罚函数F(2122211,0max,xxxx=2221xx当11x2122211xxx当11x用解析法求