《运筹学》整数规划

Chapter5整数规划(IntegerProgramming)整数规划的特点及应用分支定界法分配问题与匈牙利法本章主要内容：Page2整数规划的特点及应用整数规划（简称：IP）要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。整数线性规划数学模型的一般形式：且部分或全部为整数或n)1.2(j0)2.1()min(max11jnjijijnjjjxmibxaxcZZPage3整数规划的特点及应用整数线性规划问题的种类：纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。Page4整数规划的特点及应用整数规划的典型例子例5.1工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij，见下表：B1B2B3B4年生产能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量350400300150工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。Page5整数规划的特点及应用解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。为此，引入0-1变量：)2,1(01iyi若不建工厂若建工厂再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用，单位万元。则该规划问题的数学模型可以表示为：Page6整数规划的特点及应用)2,1(1,0)4,3,2,1,(0200200600400150300400350.]15001200[min244434241134333231242322211413121144342414433323134232221241312111414121iyjixyxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsyyxcziijijijij混合整数规划问题Page7整数规划的特点及应用例5.2现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件：若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定项目3和4中至少选择一个；项目5,6,7中恰好选择2个。应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。Page8整数规划的特点及应用解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：),...,2,1(01njjjxj不投资对项目投资对项目投资问题可以表示为：）（或者nxxxxxxxxBxatsxczjnjjjnjjj,2,1j1021.max765431211Page9整数规划的特点及应用例5.3指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。工作人员ABCD甲85927390乙95877895丙82837990丁86908088Page10整数规划的特点及应用设工作时人做不分配第工作时人做分配第jijixij01数学模型如下：4443424134333231242322211413121188809086907983829578879590739285maxxxxxxxxxxxxxxxxxZ要求每人做一项工作，约束条件为：111144434241343332312423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxxPage11整数规划的特点及应用每项工作只能安排一人，约束条件为：111144342414433323134232221241312111xxxxxxxxxxxxxxxx变量约束：4,3,2,110jixij、，或Page12整数规划的特点及应用整数规划问题解的特征：整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函数值。Page13整数规划的特点及应用例5.3设整数规划问题如下且为整数0,13651914max21212121xxxxxxxxZ首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。0,13651914max21212121xxxxxxxxZPage14整数规划的特点及应用用图解法求出最优解为：x1＝3/2,x2=10/3，且有Z=29/6现求整数解(最优解):如用舍入取整法可得到4个点即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如右图所示。其中(2,2),(3,1)点的目标函数值最大，即为Z=4。Page15整数规划的特点及应用整数规划问题的求解方法：分支定界法和割平面法匈牙利法（指派问题）Page16分支定界法1）求整数规划的松弛问题最优解；若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步；2）分支与定界：任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束：xi≤[xi]和xi≥[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。分支定界法的解题步骤：Page17分支定界法例5.4用分枝定界法求解整数规划问题且全为整数0,4306525min211212121xxxxxxxxxZ解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题)0,4306525min211212121xxxxxxxxxZLPIPPage18分支定界法用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。x1x2⑴⑵3(18/11,40/11)⑶21123x1＝18/11,x2=40/11Z=－218/11≈(－19.8)即Z也是IP最小值的下限。对于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2对于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2Page19分支定界法分支：且为整数0,1430652)1(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ且为整数0,2430652)2(5min2111212121xxxxxxxxIPxxZ分别求出（LP1）和（LP2）的最优解。Page20分支定界法先求LP1,如图所示。此时在B点取得最优解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC同理求LP2,如图所示。在C点取得最优解。即:x1＝2,x2=10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7∵Z(2)Z(1)＝－16∴原问题有比－16更小的最优解，但x2不是整数，故继续分支。Page21分支定界法在IP2中分别再加入条件：x2≤3,x2≥4得下式两支：且为整数0,32430652)21(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ且为整数0,42430652)22(5min21211212121xxxxxxxxxIPxxZ分别求出LP21和LP22的最优解Page22分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求LP21,如图所示。此时D在点取得最优解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(21)＝-87/5≈-17.4Z(1)=-16但x1＝12/5不是整数，可继续分枝。即3≤x1≤2。求LP22，如图所示。无可行解，故不再分枝。Page23分支定界法在（LP21）的基础上继续分枝。加入条件3≤x1≤2有下式：且为整数0,232430652)211(5min211211212121xxxxxxxxxxIPxxZ且为整数0,332430652)212(5min211211212121xxxxxxxxxxIPxxZ分别求出（LP211）和（LP212）的最优解Page24分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACDEF先求（LP211）,如图所示。此时在E点取得最优解。即x1＝2,x2=3,Z(211)＝－17找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。求（LP212），如图所示。此时F在点取得最优解。即x1＝3,x2=2.5,Z(212)＝－31/2≈－15.5Z(211)如对LP212继续分解，其最小值也不会低于－15.5，问题探明,剪枝。Page25分支定界法原整数规划问题的最优解为:x1=2,x2=3,Z*=－17以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)＝－18.5LP21x1=12/5,x2=3Z(21)＝－17.4LP22无可行解LP211x1=2,x2=3Z(211)＝－17LP212x1=3,x2=5/2Z(212)＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃Page26分支定界法例5.5用分枝定界法求解且均取整数,0,255.22108.02.134max21212121xxxxxxxxZ解:先求对应的松弛问题（记为LP0）)(0,255.22108.02.134max021212121LPxxxxxxstxxZ用图解法得到最优解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。Page27分支定界法1010108.02.121xx255.2221xx松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABCPage28分支定界法得到两个线性规划及增加约束4311xx10x2oABC0,3255.22108.02.1:134max211212121xxxxxxxLPxxZLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.80,4255.