2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)2.2-基本不等式(解析版)

2.2基本不等式运用一直接运用公式【例1】（1）（2019·新疆高一期中）已知0x，函数4yxx的最小值是（）A．5B．4C．8D．6（2）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为________．（3）（2019·天津高考模拟（理））若实数x，y满足1xy，则224xy的最小值为______．【答案】（1）B（2）365（3）4【解析】（1）由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B。（2）因为0＜x＜125，所以y＝155x(12－5x)≤215125()52xx＝365，当且仅当5x＝12－5x，即x＝65时取等号．故填365（3）因为1xy，所以2222422244xyxyxyxy，当2xy时取“”，所以224xy的最小值为4，故答案为4.【触类旁通】1．（2019·新疆高二期末）已知x，0,y，1xy，则xy的最大值为（）A．1B．12C．13D．14【答案】D【解析】因为x，0,y，1xy，所以有21112()24xyxyxy，当且仅当12xy时取等号，故本题选D.2．（2019·黑龙江高一期中）函数15(1)1yxxx的最小值为()A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】1xQ，10x，函数151yxx1(1)61xx12(1)61xx…8，当且仅当2x时取等号，因此函数151yxx的最小值为8答案选C运用二条件型【例2】（1）（2019·云南高一月考）已知正数x、y满足41xy，则11xy的最小值为（）A．8B．12C．10D．9（2）（2019·贵州高一期末）已知正实数a，b满足41ab，则1ba的最小值为（）A．4B．6C．9D．10（3）．若正数xy、满足40xyxy，则4xy的最大值为（）A．25B．49C．12D．47【答案】（1）D（2）C（3）B【解析】（1）正数x、y满足41xy，根据不等式性质得到：11114444415529.xyxyxyxyxyxyyxyxyx等号成立的条件为4xyyx故答案为：D.（2）∵0a，0b，41ab，∴141bababa445529abababab…，当且仅当4,41ababab时，即1,36ab时取“”.故答案选C（3）∵正数xy、满足40xyxy，∴04xyx，解得4x，∴44444444941452(4)54444xxyxxxxxxxx，当且仅当444xx时，等号成立，∴4xy的最大值为49．故选：B．【触类旁通】1．（2019·新疆高一月考（理））已知0,0,2abab，则14yab的最小值是（）A．92B．72C．5D．4【答案】A【解析】∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴y1412ab（14ab）（a+b）12（1+44baab）12（5+24baab）92，当且仅当b＝2a时等号成立，故选：A．2．（2019·河北高一期末）设0,0ab，且4ab，则abab的最小值为（）A．8B．4C．2D．1【答案】D【解析】()11111112221444abbabaabababababab骣骣骣+琪琪琪=+=?+=++??琪琪琪桫桫桫，当且仅当baab，即2ab时成立，故选D。3．（2019·福建高二期末（文））已知0,0,42abab，则11ab的最小值是A．4B．92C．5D．9【答案】B【解析】因为1144()(4)41529babaabababab，又42ab，所以119()2ab，当且仅当12,33ab时取，故选：B。运用三配凑型【例3】（1）（2019·河北高一期末）已知1x，则331xx的最小值是_______.（2）已知1x，则函数27101xxyx的值域为________．（3）（2019·四川高一期末）已知正数x、y满足1xy，则141xy的最小值为（）A．2B．92C．143D．5（4）（2019·云南高二期中（理））已知0ab，则412aabab的最小值为（）A．444B．6C．32283aabD．32【答案】（1）3（2）[9,)（3）B（4）B【解析】（1）因为1x，所以10x，所以333331323133111xxxxxx（当且仅当0x时，等号成立）.（2）设1tx由1x知，0t，1xt，故22710(1)7(1)10451xxttytxtt，∵44tt（当且仅当2t时，等号成立）．∴函数2710(1)1xxyxx的值域为[9,)．（3）1xy，所以，(1)2xy，则141441412()[(1)]()52591111xyxyxyxyxyyxyx…，所以，14912xy…，当且仅当4111xyyxxy，即当2313xy时，等号成立，因此，141xy的最小值为92，故选：B．（4）∵0ab，∴41412()()aabababababab∵44()2()4abababab，11()2()2abababab∴4126aabab，当且仅当2,1abab时等号成立.【触类旁通】1．（2019·宁夏高一期末）当1x时，1()1fxxx的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x时，11[(1)]111fxxxxx1(1)21xx11[(1)]1311fxxxxx故答案为：-32．（2019·广东高二期中（文））已知1,0,2abab，则1112ab的最小值为（）A．322B．3242C．322D．1223【答案】A【解析】由题意知1,0,2abab，可得：(1)1,10aba，则111111313[(1)]()12212122212212abababababbaba，当且仅当121abba时，等号成立，则1112ab的最小值为322。故选：A．3．（2019·江西高二期末（文））已知正数x，y满足5xy，则1112xy的最小值为________.【答案】12【解析】由5xy，可得128xy且10,20xy，则111111212812xyxyxy121121111228128122yxyxxyxy，（当且仅当2112yxxy即3,2xy时取“=”）.故1112xy的最小值为12.运用四换元型【例4】（2019·浙江高一月考）若正数a，b满足111ab，则1911ab的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111ab得：1111abaa，即：1aba0b，0a10a1919119129161111111aaaabaaaa当且仅当1911aa，即43a时取等号min19611ab本题正确选项：A【触类旁通】1．（2019·浙江高一期末）已知0a，0b，且21abab，则2ab的最小值为A．526B．82C．5D．9【答案】A【解析】由21abab得3102ab，解得2b.所以2ab33522522252622bbbb，当且仅当3222bb，即622b时等号成立.故本小题选A.2已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b的最小值为________．【答案】145【解析】∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b0，∴aa＋b≤aa2＋a＋4，∴－aa＋b≥－aa2＋a＋4，∴u＝2a＋3ba＋b＝3－aa＋b≥3－aa2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a＋1＝145，运用五利用不等式求参数【例5】（2019·河北高一期末）已知0m，0xy，当2xy时，不等式24mxy恒成立，则m的取值范围是A．2,B．2,C．0,2D．0,2【答案】B【解析】因为0m，0xy，2xy，所以21212222mmmxyxymxyxyyx12222mm.因为不等式24mxy恒成立，所以122242mm，整理得3220mm，解得2m，即2m.【触类旁通】1．（2019·黑龙江高二期末（理））若两个正实数,xy满足211xy,且222xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．,24,B．,42,C．2,4D．4,2【答案】D【解析】由基本不等式得2144224248yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，由于0x，0y，即当2xy时，等号成立，所以，2xy的最小值为8，由题意可得228mm，即2280mm，解得42m，因此，实数m的取值范围是4,2，故选：D.2．（2019·吉林高一月考）已知210,0,1,xyxy且若222xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(,2)[4,)B．(,4)[2,)C．(-2,4)D．(-4,2)【答案】D【解析】由211xy，可得2122444248xyxyxyxyxyyxyx，而222xymm恒成立222minmmxy，所以228mm恒成立，即2280mm恒成立，解得42m，故选D．3．（2019·黑龙江高一月考（文））已知0x，0y，且280xyxy，若不等式axy恒成立，则实数a的范围是（）A．(,12]B．(,14]C．(,16]D．(,18]【答案】D【解析】由280xyxy得：2810yx，即821xy8228288210xyxyxyxyxyyxyx0x，0y20xy，80yx282828xyxyyxyx（当且仅当28xyyx，即2xy时取等号）10818xy（当且仅当2xy时取等号）18a本题正确选项：D运用六实际应用【例6】（2019·四川高一期末）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A．30B．36C．40D．50【答案】C【解析】设矩形的长为()xm，则宽为100()mx，设所用篱笆的长为()ym，所以有10022yxx，根据基本不等式可知：1001002222240yxxxx，（当且仅当10022xx时，等号成立，即10x时，取等号）故本题选C.【触类旁通】1．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m，深度为3m.如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m的造价为120元，要使水池总造价最低，那么