3.3--直线的交点坐标与距离公式-教案

人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）13.3直线的交点坐标与距离公式教案A第1课时教学内容：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离教学目标一、知识与技能1.掌握两条相交直线的交点求法；2.掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.二、过程与方法1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线相交的方法，形成数形结合的学习习惯；2.学习用代数方法研究几何问题的方法，归纳过定点的直线系方程；3.通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.三、情感、态度与价值观通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系，能够用辩证的观点看问题.教学重点、难点教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导.教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系；应用两点间距离公式证明几何问题.教学关键：教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点，并会利用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式，教师要向学生阐明其结构特点及应用，并以适量习题对此进行巩固.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固.教法与学法导航教学方法：启发引导式．在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.学习方法：在老师的启发下，自主思考讨论、探究，得出结论.利用结论实践，升华提高.教学准备教师准备：多媒体课件.学生准备：直线的一般式方程的相关知识，回顾两条直线位置关系的判定方法及二元一次方程的解法.教师备课系统──多媒体教案2教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系.课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？激发学生兴趣，引起学生思考.概念形成与深化1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y+C1=0，L2：A2x+B2y+C2=0.如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空.几何元素及关系代数表示点AA（a，b）直线LL：Ax+By+C=0点A在直线上直线L1与L2的交点A师：提出问题.生：思考讨论并形成结论.通过学生分组讨论，使学生理解掌握判断两直线位置的方法.课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交.（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行.（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合.课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？应用举例教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后讲解.同类练习：书本110页第1，2题.训练学生解题格式，人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）3续上表应用举例例1求下列两直线交点坐标：L1：3x+4y–2=0，L2：2x+y+2=0．例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）L1：x–y=0，L2：3x+3y–10=0；（2）L1：3x–y+4=0，L2：6x–2y–1=0；（3）L1：3x+4y–5=0，L2：6x+8y–10=0.这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系.例1【解析】解方程组得x=–2，y=2.所以L1与L2的交点坐标为M（–2，2），如图：例2【解析】（1）解方程组得5353xy，．所以，l1与l2相交，交点是M（55,33）.（2）解方程组①×②–②得9=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.（3）解方程组①×2得6x+8y–10=0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.规范条理清楚，表达简洁.3x+4y–5=0，6x+8y–10=0，①②x–y=0，3x+3y–10=0，3xy0，6x–2y–1=0，3x4y20，2x2y20，①②xy842–2–4–55教师备课系统──多媒体教案4续上表方法探究课堂设问一.当λ变化时，方程3x+4y–2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标，（1）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.（3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合.培养学生由特殊到一般的思维方法.应用举例例3已知a为实数，两直线l1：ax+y+1=0，l2：x+y–a=0相交于一点.求证：交点不可能在第一象限及x轴上.【分析】先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.例3【解析】解方程组若2101aa，则a＞1.当a＞1时，11aa，此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有a2+1≥1＞0，故2101aa.因为a≠1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上，得交点（211,11aaaa）.引导学生将方法拓展与延伸.概念的形成与深化过平面上任意两点111(,)Pxy，222(,)Pxy分别向y轴和x轴作垂线，垂足分别112200NyMx，，，，直线12PNPM12与相交于点Q.回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决平面直角坐标系中任意两点间的距离问题？人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）5续上表在直角ABC中，2221212PPPQQP，为了计算其长度，过点1P向x轴作垂线，垂足为110Mx，过点P2向y轴作垂线，垂足为220Ny，，于是有22212121PQMMxx，22222121.PQNNyy所以，2221212PPPQQP=222121xxyy.由此得到两点间的距离公式22122221.PPxxyy在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.应用举例例4：已知点A（-1，2），B（2，7），在x轴上求一点，使PAPB，并求PA的值.【解析】设所求点P（x，0），于是有2222102207xx由=PAPB得2225411xxxx，解得x=1.所以，所求点P（1，0），且22110222.PA通过例题，使学生对两点间距离公式理解和应用.巩固学生对两点间距离公式的应用.提高学生细心运算，规范表达的能力.教师备课系统──多媒体教案6续上表应用举例例5证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.【分析】首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.证明过程见书P105.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步；把代数结果“翻译”成几何关系.思考：同学们是否还有其他的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.提高学生应用坐标法证明简单几何问题的能力.小结直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标及两点间的距离，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用.师生共同总结．形成知识体系.课堂作业1．求经过点（2，3）且经过l1：x+3y–4=0与l2：5x+2y+6=0的交点的直线方程.【解析】解法1：联立3402,52602,xyxxyy，得，所以l1，l2的交点为（–2，2）.由两点式可得：所求直线方程为322322yx，即x–4y+10=0.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）7解法2：设所求直线方程为：x+3y–4+（5x+2y+6）=0.因为点（2，3）在直线上，所以2+3×3–4+（5×2+2×3+6）=0，所以722，即所求方程为x+3y–4+（722）（5x+2y+6）=0，即为x–4y+10=0.2．已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m–2）x+3y+2m=0，试求m为何值时，l1与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.【解析】当l1∥l2（或重合）时：A1B2–A2B1=1×3–（m–2）·m=0，解得：m=3，m=–1.（1）当m=3时，l1：x+3y+6=0，l2：x+3y+6=0，所以l1与l2重合；（2）当m=–1时，l1：x–y+6=0，l2：–3x+3y–2=0，所以l1∥l2；（3）当l1⊥l2时，A1A2+B1B2=0，m–2+3m=0，即12m；（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交.3．若直线l：y=kx–3与直线2x+3y–6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）.A．[30,60)B．(30,90)C．(60,90)D．[30,90]【解析】直线2x+3y–6=0过A（3，0），B（0，2），而l过定点C(0,3)，由图象可知.0ACkkk即可所以l的倾斜角的取值范围是（30°，90°），故选B.4.已知点A（4，12），在x轴上的点P与点A距离等于13，求点P的坐标.【解析】由于点P在x轴上，设P（x，0），则|PA|=13)012()4(22x，解得x=9或-1.所以点P的坐标为（9，0）或（-1，0）．第2课时教学内容：3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离教学目标一、知识与技能1.理解点到直线距离公式的推导；2.熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.二、过程与方法经历点到直线距离公式的推导过程，掌握一种推导方法.教师备课系统──多媒体教案8三、情感、态度与价值观认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题新疆学案王新敞教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式新疆学案王新敞教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.教学关键：根据题目的具体条件，熟练地记忆并应用公式进行求解.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，让学生理解公式的推导过程，并结合公式的特点要求学生记忆公式，在此基础上，选择针对性的习题加以巩固.教法与学法导航教学方法：讲练结合法．学习方法：讨论练习法．教学准备教师准备：多媒体课件．学生准备：两直线间的位置关系．教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式.逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离.两条直线方程如下：11122200AxByCAxByC，，用PPT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？激发学生兴趣，引起学生思考.概念形成与深化1．点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：0022.AxByCdAB教师提出问题：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为),(00yx，直线＝0或B＝0时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线方程直接求