人教版八年级数学全等三角形解题能力提升

人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第1页共24页八年级数学全等三角形解题能力提升1．判定全等三角形的方法三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来。全等三角形的性质（1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。全等三角形的五种判定公理：（1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角边”（SAS）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL）。SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）HL(斜边，直角边)注意几点：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）以下情况两个三角形不一定全等:①三个角对应相等的两个三角形不一定全等（AAA）。②两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）。如图AAA，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；又如图SSA，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。寻找对应元素的规律寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)如右图中，两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．SSAAAAAAA人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第2页共24页）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。【提示】一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。判定全等三角形的思路判定全等三角形的方法：一、挖掘“隐含条件”判全等【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=20°,BE=5cm.说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=3cm.说说理由.二、添条件判全等【提示】：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.4、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件AB=AC；旋转平移翻折人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第3页共24页根据“ASA”需要添加条件∠BDA=∠CDA；根据“AAS”需要添加条件∠B=∠C；5、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件AB=DE；若要以“ASA”为依据，还缺条件∠ACB=∠F；若要以“AAS”为依据，还缺条件一∠A=∠D，并说明理由。三、熟练转化“间接条件”判全等6.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？解：∵AE=CF(已知）∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)即AF=CE在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB(SAS)7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？解：∵∠CAE=∠BAD(已知)∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE(等量减等量，差相等)即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(AAS)8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解:连接AC在△ABC和△ADC中，∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠ABC=∠ADC(全等三角形的对应角相等)四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线如图3，AB=AC，∠1=∠2．图3∠AFD=∠CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证)∠BAC=∠DAE(已证)AC=AE(已知)∠B=∠D(已知)BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD(已知)人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第4页共24页求证：AO平分∠BAC．分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．证明：连结BC．因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．即∠3=∠4，所以BO=CO．因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．五、条件中没有现成的全等三角形时，通过构造全等三角形来判定例4已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．2构造全等三角形的主要方法常见的构造三角形全等的方法有以下三种：①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；（1）利用中点（中线）构造全等若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例1：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线GABFDEC图4人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第5页共24页∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。【提示】：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（2）利用角平分线构造全等遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例2：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。（3）用“截长补短”法构造全等证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例3：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙人教版八年级数学全等三角形解题能力提升第6页共24页∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。【提示】：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。3全等三角形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．在证题过程中涉及到的有关基础知识：（1）证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。（2）证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或