2020年中考数学人教版专题复习：垂径定理

2020年中考数学人教版专题复习：垂径定理一、考点突破1.掌握垂径定理及推论的内容及证明。2.应用垂径定理解决问题。二、重难点提示重点：理解垂径定理与推论的关系。难点：应用知识解决实际问题。考点精讲垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。如果AB∥CD，则=ACBD。【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。典例精析例题1已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A.25cmB.45cmC.25cm或45cmD.23cm或43cm思路分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论。答案：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝12AB＝12×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝22OAAM＝2254＝3cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8cm，∴AC＝22AMCM＝2248＝45cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5－3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝22AMMC＝2242＝25cm，故选C。技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。例题2如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（）A.2B.1C.2D.22思路分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点，即为PA＋PB的值最小时的点，根据外角知识求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝2OA，即为PA＋PB的最小值。答案：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA＋PB的最小时的点，PA＋PB的最小值＝AB′，∵∠AMN＝30°，∠AMN＝∠A，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝12∠AON＝12×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝2OA＝2×1＝2，即PA＋PB的最小值＝2。故选A。技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。提分宝典[来源:Z+xx+k.Com]1.与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方法。例题如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，CD＝2，求半径的长。答案：解：连接OA，∵OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝4，∵DC＝2，∴OD＝OC－2，∵OA＝OC，222OAADOD∵，22242OAOA，解得OA＝5。2.在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时，连接圆心与这些中点，是常用的辅助线的作法。【针对训练】如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。[来源:学科网ZXXK]思路分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。答案：解：如图，作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△HAG，由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG＝∠BDF＝60°，∵∠ECB＝60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴21AMACONOC，在Rt△ONC中，∠OCN＝60°，∴ON＝sin∠OCN•OC＝32•OC，∵OC＝13OA＝2，∴ON＝3，∴AM＝23，∵ON⊥GE，∴NE＝GN＝12GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE＝22OEON＝226(3)＝33，∴GE＝2NE＝233，∴S△AGE＝12GE•AM＝12×233×23＝611，∴图中两个阴影部分的面积为611，故答案为611。技巧点拨：本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用。