数值分析引论 易大义Ch4.xls

优点：代数精度高：，nm问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？本节内容：介绍插值型求积公式的特例，Gauss型求积公式.优点：1.代数精度最高；baiinidxxlxA,,1,0,)()(其中baniiixfAdxxfx0)()()(复习：给定n+1个节点，插值型求积公式：缺点：数值不一定稳定.)()2(4)(6bfbafafab)()2(4)(6)()(3333bHbaHaHabdxxHdxxfbaba例如)()(2)()()(2)()()(111bfafabbLaLabdxxLdxxfbababaniiixfAdxxf0)()(bainiidxxLxLA)()(0niiixLA0)(N－C公式：niCabAnii，，，，10)()(Simpson公式梯形公式2.数值稳定，收敛.插值基函数2.1最高代数精度求积公式.1nmn式的代数精度个节点，插值型求积公设有.,,1,0,1的分布确定个节点由求积系数及nixni?最大多大m如何确定？分析四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的解，待定，0101101010)(,)(,xxxxxlxxxxxlxx具有尽可能高的代数精度.例4求节点，使插值型求积公式10xx，)()()(110011xfAxfAdxxf)1.2(,2011111010xxxdxxxxxA0101101012xxxdxxxxxA问题结论的分布个节点nixni,,1,0,1本节问题关键§2Gauss型求积公式求积系数插值型代数精度最高.因此按插值型求积公式来求A0，A1.,1m代数精度插值型0)(1133dxxxxf－，得令)()()(110011xfAxfAdxxf,2011111010xxxdxxxxxA0101101012xxxdxxxxxA32)(1122dxxxxf－，得令)(32)(2101010,10xxxxxxAA代入把211200)(xAxAfQ10,210xxAA代入把311300)(xAxAfQ333310xx得解，从而，110AA)33()33()()()(1100ffxfAxfAfQ，因此，求积公式为－)33()33()(11ffdxxf，0311010xxxxbxxxan10一般地，对于任意求积节点.22nm，任意求积系数，求积公式的代数精度)()()()(fQxfAdxxffIkkba分析，令)()]())([()(21210xxxxxxxxfnn,0)()()(dxxfxfIba从而，事实上，,0)(xf则.1211234度是最高能达到的代数精中例nm,0)()(0nkkkxfAfQ而.22nm.1123m，求积公式为－)33()33()(11ffdxxf92)33()33()(52)(,)(441144xQdxxfIxxf－对于.)(即可fQnkkkbaxfAdxxffIxfn0)()()(),(22次多项式只要证明Gauss型求积公式的构造——利用正交多项式的根构造分析引理1式的根，则插值型求积公次正交多项式的)(1)(1xPnxn上关于权函数是若求积节点],[10babxxxan.12nm具有代数精度bankkkxfAdxxfx0)()()()2.2(即精确成立，多项式次数只要证得对于,)2.2()(12xfnbankkkxfAdxxfx0)()()(＝证明，)()()()(1xrxqxPxfn代数多项式，则是任意次数令12)(nxf.)()(的多项式是任意次数与其中nxrxqbadxxfxfI)()()()(11xPnn次正交多项式代数精度最高的求积公式babandxxrxdxxqxPx)()()()()(1nkkkbaxfAdxxfxfQfI0)()()()()(，即bababandxxrxdxxqxPxdxxfxfI)()()()()()()()(1次正交多项式是因为1)(1nxPnbabadxxrxdxxfxfI)()()()()(nkkkxfAfQ0)()(而,12nm定义3正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n+1个节点(ax0…xnb)的求积公式(2.2)若其代数精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式,并称其节点bandxxqxPx)()()(10＝，0)(1knxP,12nm又nkkkxrArQ0)()(),()(0rQxrAnkkknxr的次数)(为Gauss点.交多项式的根？.12nm)(fI)(rQ)(rQ)(fQ2.2Gauss点与正交多项式的关系定理4分析bandxxqxx)()()(1则有Gauss点ax0…xnb)(x是[a,b]上关于权的n+1次正交多项式的根.求积公式(2.2)是Gauss型的“充分性”即是引理1的结论.以下只证必要性只需证)(x)(1xn,0))()((01xqxn，，即由于左端等于证明，次多项式取)()()()()()(1201xqxxxxxqxxfnnn次正交多项式，是1)(nx上关于权在baxn,)(1#.)(1101的根次正交多项式）是，，，（则xnnkxnk注本定理说明Gauss求积公式的唯一性..)(的多项式为次数nxq)(1xn正交多项式“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根.nkkknkGaussxqxA01)()(点的定义代数精度m=2n+1，0正交.关于2.3Gauss求积公式的余项（截断误差）由引理1知,xi(i=0,1,…,n)是Gauss点,则m=2n+1,定理5],[)()22(baCxfn若),(,)()()!22()(][21)22(1badxxxnffRnbann，则Gauss求积公式(2.2)的余项为)3.2(分析点,确定2n+1次多项式，证明若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x)满足插值条件),()(12kknxfxHdxxHxnba)()(12由))()()((fIdxxfxbadxxxxxxxnfxbann210)22()]())([()!22()()(banndxxHxfxfQfIfR)]()()[()()(][121是连续函数，利用)(,0)]())([()()22(21021nnnfxxxxxxx#).,(,)()()!22()(][21)22(1badxxxnffRnbann由积分中值定理得.,,1,0),()(12nkxfxHkknnkknkxHA012)(nkkkxfA0)(由n+1个利用Hermite插值多项式.,12nm事实上，baniikikxlAdxxlx022)()()(Gauss型求积公式是数值稳定的2.4Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性1、稳定性),,1,0(,0nkAGaussk型求积系数首先，可以证明次代数多项式，为插值基函数为nxlLnkxlkk20)(,),,1,0)((2则，其次，取1)(xfnkknkkAA00||则badxxE)(max.)(，即是数值稳定的badxxE.,,1,0,nkAkikikxlik,1,0)(0，badxx)()||(0maxnkkAE证明],[ba上的连续函数)(xf可以用代数多项式一致逼近,对任意给定的,0存在某个多项式有)(xqmbambxadxxxqxf)(2|)()(|max][fR2、收敛性引理20][limfRn上的任何连续函数有)(xf对于有限闭区间],[ba)4.2(nknkmnkbamxqAdxxqxnmmn0)1()1()()()()2(2即时，有当nknkbababaAdttdxdttx0)1()(2))(2)((dxxqxfxmba)]()([)(|#.)4.2(成立的任意性得由banknkdxxA)(0)1(banknknkxfAdxxfx|)()()(|0)1()1(从而，|)]()([)1()1(0)1(nkmnknknkxqxfA结论定理6Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的优点（1）收敛、稳定;缺点（1）Gauss点难求（即多项式的根难求）;（1）f(x)赋值量大;使用情况（2）计算的积分多.连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确积分值.（2）计算量小，代数精度高.（2）Gauss点是无理数，Gauss求积系数也是无理数.2.5几个常用的Gauss型求积公式Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有1.Gauss-Legendre（勒让德）求积公式2.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式根，是勒让德正交多项式的),,1,0(nixi],1,1[],[,1)(bax,)()(011niiixfAdxxf.]1,1[],[，再进行计算则可用变量替换把区间ba，若区间]1,1[],[ba],1,1[],[,11)(2baxxnknkfndxxxf1112)212(cos1)(.,,1,0,)]()[1(222nkxPxAkkk3.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式4.Gauss-Hermite求积公式以下几种求积公式.理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式.说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根.交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项（2）虽然对任意的[a,b]以及[a,b]上的权函数都能构造正)(x式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题.P2071（2、4）、6作业:理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系.了解几个常用的Gauss型求积公式.课本P.177例5编程:2.1最高代数精度求积公式§2Gauss型求积公式Gauss型求积公式的构造——利用正交多项式的根来构造引理1：式的根，则插值型求积公次正交多项式的)(1)(1xPnxn上关于权函数是若求积节点],[10babxxxan。具有代数精度12nmbankkkxfAdxxfx0)()()()2.2(代数精度最高的求积公式定义3正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n+1个节点(ax0…xnb)的求积公式(2.2)若其代数精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式,并称其节点为Gauss点.交多项式的根？