计量经济学数学基础

1《计量经济学》数学基础数学基础(Mathematics)第一节矩阵(Matrix)及其二次型(QuadraticForms)第二节分布函数(DistributionFunction)，数学期望(Expectation)及方差(Variance)第三节数理统计（MathematicalStatistics）第一节矩阵及其二次型(MatrixanditsQuadraticForms)1.1矩阵的基本概念与运算一个m×n矩阵可表示为：vaaaaaaaaaaAmnmmnnij212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A+B，cij=aij+bij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A是一个m×n1的矩阵，B是一个n1×n的矩阵，则C=AB是一个m×n的矩阵，而且nkkjikijbac1，一般来讲，AB≠BA，但如下运算是成立的：结合律（AssociativeLaw）(AB)C=A（BC）分配律（DistributiveLaw）A(B+C)=AB+AC问题：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？向量（Vector）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。行向量(rowvector)是只有一行的向量，列向量(columnvector)只有一列的向量。如果α是一个标量，则αA=[αaij]。矩阵A的转置矩阵(transposematrix)记为A，是通过把A的行向量变成相应的列向量而得到。显然(A)′=A，而且（A+B）′=A+B，乘积的转置（Transposeofproduction）ABAB)(，ABCABC)(。可逆矩阵（inversematrix），如果n级方阵(squarematrix)A和B，满足AB=BA=I。2则称A、B是可逆矩阵，显然1BA，1AB。如下结果是成立的：1111111)()()()(ABABAAAA。1.2特殊矩阵1）恒等矩阵(identitymatrix)对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I；2）标量矩阵(scalarmatrix)即形如αI的矩阵，其中α是标量；3）幂等矩阵(idempotentmatrix)如果矩阵A具有性质AAAA2，这样的矩阵称为幂等矩阵。定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。4）正定矩阵（positivedefinite）和负定矩阵（negativedefinite），非负定矩阵(nonnegative)或半正定矩阵（positivesemi-definite），非正定矩阵(nonpositivedefinite)或半负定矩阵（negativesemi-definite）；对于任意的非零向量x，如有xAx＞0（＜0），则称A是正（负）定矩阵；如有xAx≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。如果A是非负定的，则记为A≥0；如果是正定的，则记为A＞0。协方差矩阵是半正定矩阵，几个结论：a）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；b）如果A是正定的，则1A也是正定的；c）如果A是正定的，B是可逆矩阵，则ABB是正定的；d）如果A是一个n×m矩阵，且n＞m，mAr)(，则AA是正定的，AA是非负定矩阵。5）对称矩阵（symmetricmatrix）；如果A=A′，则A称为对称矩阵。1.3矩阵的迹（trace）一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为)(Atr，则niiiaAtr1)(，如下结论是显然的。31）)()(AtrAtr（是标量）特例nItr)(2）)()(AtrAtr3）)()()(BtrAtrBAtr4）)()(BAtrABtr，特例211)(ijnjniaAAtr５）循环排列原则tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理：实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。因为A是实对称矩阵，故有在矩阵C，使得nACC1，其中ICC，所以，niiAtrAItrCCAtrACCtrtr1)()()()()(。1.4矩阵的秩(rank)一个矩阵A的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A)，不加证明，我们给出如下结果：1）)()(ArAr≤min（行数、列数）2）1)()(nBrAr≤)(ABr≤min))(),((BrAr，其中A、B分别为m×n1、n1×n矩阵，特例：如果A、B为n×n矩阵，而且AB=0，则)()(BrAr≤n3）)()()(AArAArAr，其中A是n×n的方阵4）)(BAr≤)()(BrAr5）设A是n×n矩阵，且IA2，则nIArIAr)()(6）设A是n×n矩阵，且AA2，则nIArAr)()(1.5统计量的矩阵表示向量可理解为特殊的矩阵。i是一个其元素都为1的n维列向量，即i=（1，1，…，1），如果我们再假定),,,(21nxxxx，计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表4示出来，很方便进行数学推导。显而易见，niixix1，niixxx12，样本的均值与方差的矩阵表示如下：1）样本均值矩阵表示；事实上nii即11iin，而111111111ii，xinxnxnii111；2）样本方差矩阵表示易知：xiinxinixixx11。其中矩阵iin1是一个每个元素都为n1的n阶方阵，从而xMxiinIxiinxxixxxxxxxn021)1()1()(。矩阵0M的对角线上的元素为)11(n，非对角线的元素为n1，是一个对称矩阵。故样本方差：)()(1)(1122xxxxnxxnSniixMxnxMxnxMMxn02000111。定理：矩阵0M是幂等矩阵。1.6矩阵的二次型与多元正态分布1）矩阵的二次型（QuadraticForms）和线性变换（lineartransferring）设P是一数域，一个系数在数域P中的nxxx,,,21的二次齐次多项式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),,,(nnxxaxa2222222……………………………2nnnxa（1）称为数域P上的一个n元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。例如52332223121213423xxxxxxxxx就是有理数域上的一个三元二次型，为了以后讨论上的方便，在（1）中，ixxji(＜)j的系数写在ija2。而不简单地写成ija。和在几何中一样，在处理许多其它问题时也常常希望通过变量的线性替换简化有关的二次型，为此，我们引入定义1设．nxx,,1；nyy,,1是两组文字，系数在数域．．．．．．．．．．．P．中的一级关系式．．．．．．．nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111（2）称为由．．．nxx,,1，nx到．nyy,,1的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．0ijc那么线性替换．．．．．．（2）就称为非退化的．．．．．．．。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。令ijjiaa，i＜j由于ijjixxxx所以二次型（1）可以写成nnnxxaxxaxaxxxf112112211121),,,(nnxxaxaxxa2222221221……………………………………22211nnnnnnnxaxxaxxaninjjiijxxa11（3）把（3）的系数排成一个n×n矩阵6nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211（4）它就称为二次型（3）的矩阵，因为jiijaa，i，,,,1nj所以AA我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的．．．．．．．．．．．。令nxxxX21于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，AXXnnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121),,,(nnnnnnnnnnxaxaxaxxxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(ninjjiijxxa11故AXXxxxfn),,,(21应该看到，二次型（1）的矩阵A的元素jiijaa正是它的jixx项的系数的一半，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的，由此还能得到，若二次型BXXAXXxxxfn),,,(21且AA，BB，则BA。令7nnnnnnnyyyYcccccccccC21212222111211,于是线性替换（2）可以写成nnnnnnnnyyycccccccccxxx2121222211121121或者CYX我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，也就是说，找出替换后的二次的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。设AAAXXxxxfn,),,,(21（5）是一个二次型，作非退化线性替换CYX（6）我们得到一个nyyy,,,21的二次型BYY现在来看矩阵B与A的关系。把（6）代入（5），有ACYCYCYACYAXXxxxfn)()(),,,(21BYYYACCY)(容易看出，矩阵ACC也是对称的，事实上，ACCCACACC)(由此，即得ACCB这就是前后两个二次型的矩阵的关系，与之相应，我们引入定义2数域．．P上．n×n矩阵．．A，B称为合同的．．．．．，如果有数域．．．．．P上可逆的．．．．n×n矩阵．．C，8使．ACCB合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有1）反身性：AEEA；2）对称性：由ACCB即得11)(BCCA；3）传递性：由2122111CACAACCA和即得)()(21212CCACCA因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的探讨提供了有力的工具。最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的，一般地，当线性替换CYX是非退化时，由上面的关系即得XCY1这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原。这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质。定理：若A是实对称矩阵，则存在可逆矩阵C，满足：nACC1。2）多元正态分布a）二元正态分布直观上，二元正态分布是两个正态随机变量的联合分布。如果两个随机变量X1和X2的联合密度函数为1221212exp121),(xxf这里＜1x，2x＜，1＞0，2＞0，1＜＜1，