高中数学统编版(2019)必修第一册(A版)《2.3-二次函数与一元二次方程、不等式》

新课引入大家还记得二次函数与一元二次方程的内容吗？二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎≠0的图象及性质：借助一元二次方程：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0，当∆0时，方程有两个不相等的实根：𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎，𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎.当∆=0时，方程有两个相等的实根：𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎.当∆0时，方程无实根.如何求解交点的横坐标？当∆0时，二次函数的零点为𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎，𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎；当∆=0时，二次函数的零点为𝑥=−𝑏2𝑎.当∆0时，二次函数无零点.二次函数的零点：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，我们把使𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的实数𝑥叫做二次函数的零点.何为一元二次不等式呢？引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段24米长的栅栏.我想用这段栅栏围成一个面积大于20平方米的矩形苗圃.设该矩形的一边长为𝑎米，请你确定实数𝑎可以取哪些值？𝑎12−𝑎200𝑎1220可以分解为𝟐𝟎=𝟒×𝟓=𝟐×𝟏𝟎=𝟏×𝟐𝟎，显然，𝒂346𝟏𝟐−𝒂986没什么有用的规律.尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式𝑎与12−𝑎相乘的形式，我们能否利用这个特征来解呢？尝试二：有些同学注意到𝑎0且12−𝑎0这个特征，仍然不能求解！运用不等式同解原理，两侧同时除以𝑎或者12−𝑎，转化为：12−𝑎20𝑎或𝑎2012−𝑎，新课讲授按照方程和不等式的命名规则，我们应该称它为一元二次不等式！𝑎12−𝑎20整理为𝑎2−12𝑎+200，定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，它的一般形式是：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0，还包括𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≤0，其中，𝑎,𝑏,𝑐为常数，其中𝑎≠0.二次函数：𝑦=𝑥2−12𝑥+20.一元二次不等式：𝑎2−12𝑎+200；一次函数：𝑦=12𝑥+20；一元一次不等式：12𝑥+200.首先，𝑎2−12𝑎+200就是二次函数值𝑦0.二次函数𝑦=𝑥2−12𝑥+20.用一元二次方程𝑎2−12𝑎+20=0来解出边界值.计算判别式∆=−122−4×1×20=640，所以不等式的解集为𝑎2𝑎10.答：这个矩形苗圃的边长𝑎取大于2且小于10的数时，苗圃的面积会大于20平方米.求根公式：𝑎1=12−642=2，𝑎2=12+642=10，所以边界值为：𝑎1=2，𝑎2=10，例1.求解下列关于𝒙的一元二次不等式：（1）𝑥2−5𝑥+60；（2）2𝑥−𝑥2+30.（1）解：设二次函数𝑦=𝑥2−5𝑥+6，其图象开口向上，解一元二次方程𝑥2−5𝑥+6=0，得到二次函数的零点：𝑥1=2，𝑥2=10，看函数的图象，得到不等式的解集为𝑥𝑥3或𝑥2.（2）2𝑥−𝑥2+30.（2）解：整理为一般式−𝑥2+2𝑥+30，看函数的图象，得到不等式的解集为𝑥𝑥3或𝑥−1.法一：设二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，其图象开口向下，解一元二次方程−𝑥2+2𝑥+3=0，得到二次函数的零点：𝑥1=−1，𝑥2=3，（2）解：整理为一般式−𝑥2+2𝑥+30，法二：整理为一般式𝑥2−2𝑥−30，二次项系数变为正值，不等号变为“”号.设二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥−3，其图象开口向上.解方程𝑥2−2𝑥−3=0，得到𝑥1=−1，𝑥2=3，得到不等式的解集为𝑥𝑥3或𝑥−1.（2）2𝑥−𝑥2+30.方程与不等式合在一起解决了自变量取何值时函数值为正、为零、为负的问题！二次函数：𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎≠0；一元二次方程：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑎≠0；一元二次不等式：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0𝑎≠0.一元二次不等式的解法：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0𝑎0.第一步，设二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎0，开口向上.第二步，解一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，得到二次函数的零点.∆0时，𝑥1=−𝑏+𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎，𝑥2=−𝑏−𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎；∆=0时，𝑥1=𝑥2=−𝑏2𝑎；∆0时，方程无实根，函数无零点.一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0𝑎0.（1）解：设二次函数𝑦=9𝑥2−6𝑥+1，其图象开口向上，∆=36−4×9=0，零点为𝑥=13.观察函数图象，得到不等式的解集为𝑥𝑥≠13.练习求解下列关于𝒙的一元二次不等式：（1）9𝑥2−6𝑥+10；（2）𝑥2−2𝑥+30.观察函数图象，得到不等式的解集为𝑥𝑥∈𝑅.（2）解：设二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥+3，其图象开口向上，∆=4−4×30，无零点.练习求解下列关于𝒙的一元二次不等式：（1）9𝑥2−6𝑥+10；（2）𝑥2−2𝑥+30.同种类型的函数、方程、不等式之间存在着紧密的联系，数学是一个整体，有完整而又严谨的体系！类比：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式这三者的关系！一次函数：𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑎≠0；一元一次方程：𝑎𝑥+𝑏=0𝑎≠0；一元一次不等式：𝑎𝑥+𝑏0或𝑎𝑥+𝑏0𝑎≠0.最后，我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：（1）二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间有何关系？（2）如何求解一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐0𝑎0？课堂小结