第一讲数学是什么

1第一讲数学是什么数学的由来数学的定义数学的特点2一、数学的由来我们今天的数学是怎么来的？数学为什么会变得如此抽象？数学将会向何处去？3一、数学的由来45亿年前的原始太阳星云150亿年前的大爆炸4若把地球诞生至今的这段日子当成一年，十一月的第三个星期鱼类才出现，而蜥蜴在十二月中旬出现；人类要到十二月三十一日的晚上才出现。5手指记数从计数那一刻开始……6荷马史诗《奥德赛》当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。7结绳记数《周易》：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。”8早期人类曾经使用刻痕记数之法。迄今发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚（Moravia）出土的幼狼胫骨。图中所示为同一根狼骨的不同侧面。其上有55道刻痕，分成两组：第一组25道，第二组30道，每一组内的刻痕又按5个一群排列，这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。9四个“河谷文明”地域非洲的尼罗河；西亚的底格里斯河与幼发拉底河；中南亚的印度河与恒河；东亚的黄河与长江有理由相信，数字符号是人类最早出现的文字10113500..BC古埃及陶罐12西安半坡遗址中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。13半坡遗址陶器残片14半坡遗址房屋基础15古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”（马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年）（文达，1982年）16中国的《周髀算经》（公元前200年成书）宋刻本《周髀算经》，（西周，前1100年）（上海图书馆藏）《周髀算经》中关于勾股定理的记载17埃及金字塔建于约公元前2900年的埃及法老胡夫的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。18——公元前5世纪有了数、记数法；数量的计算；简单的数的运算；简单的几何图。数学——简单的算术19演绎推理—古希腊（前6世纪——公元6世纪）泰勒斯——伊利亚学派——数学命题需要证明20毕达哥拉斯(公元前580年～公元前500年)——万物皆数21柏拉图与亚里士多德倡导逻辑演绎的结构22雅典学派23欧几里得(Euclid,公元前330年～前275年)24欧几里得——几何《原本》数学由定义、公理、定理组成定义——点、线、面、圆、角、……；公设、公理——五个公设、五个公理；公设：1.由任意一点到另外任意一点可以画直线；2.一条有限直线可以继续延长；3.以任意点为心及任意的距离可以画圆；4.凡直角都彼此相等5.平面上过直线外一点可以做一条且只能做一条直线与此平行公理：1.等于同一量的量彼此相等；2.等量加等量其和相等；3.等量减等量其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分定理（命题）——证明25阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)2627阿基米德的墓碑上刻的图28阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190）2930数学被公理化，成为演绎推理的知识体系抽象的思考，“证明”成为数学的灵魂。数学被建立在逻辑推理之上。数学不再是实用的工具，成为追求真理的思维模式。古希腊（前6世纪——公元6世纪）数学几何化——比例、倍数、奇数、偶数、乘、除、乘幂、整除、…，用几何方法描述和讨论。31实用的数学中国——测量、计算、占星、卜卦《周髀算经》公元前200年32公元一世纪33“中国古代数学第一人”祖冲之（429—500）割圆术34宋元时期（公元10世纪——14世纪）宋元四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（约1202～约1261）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪末～14世纪初）天元术、正负开方术——高次方程数值求解；大衍总数术——一次同余式组求解宋元以后，中国数学陷于停滞或几近消亡。35印度现代记数法（公元8世纪）——印度数码，0，负数阿拉伯国家（公元8世纪——15世纪）花拉子米——《代数学》（阿拉伯文《还原与对消计算概要》）曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。数字、符号36斐波那契1202年将印度人的数字引入欧洲“下列是印度人的九个数字987654321下面将证明：用这九个数字连同阿拉伯人称作零的符号0，就能写出任何数”——斐波那契《算术书》的卷首语开始使用印度阿拉伯数字、十进制37欧洲（十六世纪）用字母表示数：x,y,a,b,c,......统一运算符号：＋、－、×、÷、……意大利（十二世纪）塔塔利亚、卡尔丹、费拉里——三次方程的求根公式38托勒密——三角学15世纪，德国的雷格蒙塔努斯（J·Regiomontanus，1436—1476）的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科．这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形．16世纪法国数学家韦达（F·Viete，1540—1603）则更进一步将三角学系统化．对数简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。英国数学家－纳皮尔39——16世纪初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。构成现在中学数学的主要内容40科学革命——变量数学（十六——十九世纪）寻找解决一切问题的方法——笛卡尔——解析几何41XYOMN命题：圆上相等弦到圆心的距离相等解析几何的证明：),(11yxA),(22yxB),(33yxC),(33yxD如图。设四点在圆周上，且CDABDCBA,,,CDONABOM,证明：ONOM证.是的中点，它的坐标是，所以MAB)2,2(2121yyxx221221)2()2(yyxxOM展开并以代入，得2222221212yxRyxR和221212yyxxROMR212212)()(yyxxAB又同上面一样代入，得21212222yyxxRAB（1）42因为，，故32xCDCDAB3212122222xyyxxRAB23212124222xyyxxR23221212xRyyxx代入（1），有232232222xRxRROM但22323RyxXYOMN),(11yxA),(22yxB),(33yxC),(33yxDR23232yxR323yyOMONOM证毕。43欧几里得证明：MABCDNO作与OBODODOB同圆之半径相等ABMB21由圆心到弦的垂线平分此弦CDND21NDMB等量的一半相等RtOMBRtOND斜边和一个直角边相等ONOM证毕。解析几何的价值不在于它是搞出一个证明的方法，而在于它是代数与几何的联系。44微积分切线问题速度问题最大、最小值问题面积问题路程问题)(xfdxdy导数badxxf)()(xfy函数45曲线在其上一点处的切线。2:xyC),(00yx由于，所以，切线方程为xy2)(2000xxxyy又由于，故所求切线为200xy2002xxxy求抛物线与直线所围图形的面积。2xy1y抛物线与直线的交点为，故所求面积为)1,1()1,1(和34)]31(31[431412113112xdxx如：点处切线方程为)4,2()1(4xy46牛顿：IsaacNewton（1643—1727）数学家物理学家天文学家自然哲学家47莱布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)德国自然科学家、数学家、哲学家。他的研究范围涉及自然科学与社会科学的很多领域，几乎在每一个相关领域都有杰出成果，被誉为罕见的科学天才，百科全书式的科学家。48三大分支——分析微分方程变分法微分几何复变函数cdxdyadxyd2xvyuyvxuxayysin曲率——曲线弯曲程度49三大分支——代数解方程——代数基本定理（n次方程恰好有n个根）解方程组——矩阵、行列式高斯（C.F.Gauss,1777-1855）0110nnnaxaxannnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211150三大分支——几何欧几里得几何解析几何——用代数方法解决几何问题51“分析”、“代数”、“几何”三大分支在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。数学成为科学的皇后，与技术结合的更紧密。521657年，帕斯卡——《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。1763年，贝叶斯公式英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》——统计学十九世纪初，拉普拉斯、勒让德、高斯——数理统计随机数学——概率论与数理统计53现代数学时期（19世纪20年代——）１．康托的“集合论”2．柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”3．希尔伯特的“公理化体系”4．高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”5．伽罗瓦创立的“抽象代数”6．黎曼开创的“现代微分几何”7．庞加莱创立的“拓扑学”8.其它：数论、概率统计、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌等等。数学成为思想创造的产物，越来越抽象；应用越来越广泛。54二、数学的“定义”数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法.对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。55从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家。一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当笛卡儿（Descartes，1596－－1650年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念。恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。561．古今数学家的说法（美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”57（法）E·波莱尔：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”，而最前面的命题p是否对，却无法判断。因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”581）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说8）集合说9）结构说（关系说）10）模型说11）活动说12）精神说13）审美说14）艺术说15）万物皆数说2．数学的15个“定义”5915个“定义”来自601）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说8）集合说9）结构说（关系说）10）模型说11）活动说12）精神说13）审