数字信号处理-第六章-IIR数字滤波器设计

第六章IIRDF的设计方法一、数字滤波器设计的实质和设计的步骤设计的本质：DF是一种具有频率选择性的离散线性系统。DF设计就是确定其系统函数H(z)并实现的过程。对IIRDF：NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH1111110)1()1(1)(iiiidcba,,,或零极点确定IIRDF设计找H(z)数字滤波器设计的步骤：1.根据任务，确定性能指标。2.用因果稳定的线性时不变系统函数去逼近。3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。）4.用适当的软、硬件技术实现。(包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。)本章和下一章主要完成步骤2的任务。系统函数逼近的思路频域逼近：系统函数的幅度响应和相位响应满足要求。主要应用在滤波领域。时域逼近：系统函数的单位抽样响应满足要求。主要应用在成形领域。)(jaΩHΩΩΩΩ低通带通带阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH000c二、性能指标的描述几类典型理想滤波器的幅频特性1111ΩcΩcΩc1Ωc2Ωc1Ωc2理想滤波器物理不可实现。（从一个频带到另一个频带之间有突变，其单位抽样响应是非因果的）不能由理想滤波器性能指标进行滤波器设计。物理可实现要求：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带；且在通带和阻带内也不应该严格为1或零，应给以较小容限。2/1|)(|cjeHdBeHcj3|)(|lg20三分贝截止频率：注意：P.223图6-2不完善。本处介绍的容限和衰减的符号与教材刚好相反。具体技术指标，即归一化）（式中均假定：1)()(lg20)()(lg20)()(lg20)()(lg20000jjjjsjjjpeHdBeHeHeHdBeHeHeHsspp通带：阻带：最大衰减(波纹)αp最小衰减(波纹)αs边界频率ωp边界频率:ωs1、低通滤波器的性能指标fswsfpwpδ21-δ11αpαsfw|H(ejw)|或|H(f)2、高通滤波器的性能指标fswsfpwp1fw|H(ejw)|或|H(f)αpαs3、带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11fw|H(ejw)|或|H(f)fp2wp2fs2ws2αpαs上限上限下限下限4、带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)fp2wp2fs2ws2上限上限下限下限三、IIRDF设计方法NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH1111110)1()1(1)(iiiidcba,,,或零极点确定IIRDF设计找H(z)间接方法直接方法(一)设计方法概述（二）用模拟滤波器设计iir数字滤波器AF设计思路：选择合适的频响函数模型，调整参数，使其满足性能指标。c10N=1N=3N=50.707NcjH22)/(11)(N:滤波器阶数；c:3dB截频性质：2)幅度响应单调下降1)|H(j0)|=1,|H(j)|2log10|H(jc)|3dbc:3db截频,当c=1时，称其为归一化的BWF1.以巴特沃斯低通滤波器设计为例3)|H(j)|2在点，1到2N1阶导数零，称为最大平坦性。模拟Butterworth低通滤波器设计步骤:(1)确定阶数N)/(log2)110110(log101.01.010spspN(2)确定cNN2/11.0sc2/11.0p)110()110(sp(3)确定系统函数H(s)由给定的设计指标p、s、αp、αs222221)(2)(1)(cccccsssssHpjpeH1.0)(log210NcjH22)/(11)(pNcp1.0210)(1sNcs1.0210)(1)(log2010pjpeHppjeH1.0210)(BW型模拟滤波器ssjeH1.0210)(同理简单推导：)/(log2)110110(log101.01.010spspNNN2/11.0sc2/11.0p)110()110(sp例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p1.0p，p4.0s，dBαp1，dBαs1028.1)/(log2)110110(log101.01.010spspN解：(1)确定N取N=24404.0)110(4/111.0pc由阻带满足的方程7255.0)110(4/1101.0sc(2)确定c由通带满足的方程7255.04404.0c2j)j()j()j()()(HHHsHsHs实h(t)H(j)=H*(j)NssHsH2)j(11)()(极点：j}e{j)1(2/1π2jπ2/1NkNksNkNk2,2,1;e)21221(jπ(3)确定系统函数H(s)NcjH22)/(11)(H(s)=?基本思路如何求将中的j以s代换(为简化，暂归一化Ωc=1）,2)(jH2N各极点中，一半在左半平面，一半在右半平面。为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。（零点？)NksNkk,2,1;e)21221(jπ22)Re(2))((kkkkssssssss1)2)12(sin(22sNksp1)(sin21)(22/1sssHkNk)2/(π)12(Nkk设计的系统函数222221)(2)(1)(cccccsssssH2224404.06228.04404.0ss本例题中，N=2，代入得切比雪夫I型、切比雪夫II型、椭圆型模拟低通滤波器设计思路方法类似。H(s)如何转换注意：我们需要的是H(z)H(z)数字化①S平面的虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆上，即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π]②S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即Re[s]0→|z|1频率特性因果稳定性模拟变换到数字的映射必须满足两个基本条件：典型映射方法：2.H(s)转换为H(z)的映射方法2.1冲激响应不变法•冲激响应不变法•阶跃响应不变法•双线性变换法数字滤波器的冲激响应h(n)模拟滤波器h(t)的等间隔抽样对应h(n)=h(nT)T是抽样周期kajTkjHTeH)2(1)(p(1)时域逼近良好(2)频域多值映射时域抽样频域周期延拓特点：p.36式(1-40)注意：ω=ΩT实现方法(1)H(s)逆傅里叶变换，得h(t)；(2)h(t)抽样，得h(n);(3)h(n)求z变换，得H(z)。H(s)→ha(t)→h(n)→H(z)步骤：NkTsknnTsNkknnnNkTsknzeAzeAzeAznhzHzHznhkkk1101100111)()()()().()()4(求变换求对平面）（平面）zzeAzHsssAsHNkTskNkkkak1111)(()(NkkkssAsHsH1)()()1(展成部分分式：将NktskaaaatueAsHLththsHk11)()]([)()()()2(：求由NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(3样响应）数字滤波器的单位抽（Tspkkez存在问题2,0)(2shsTjHffp或时域抽样频域周期延拓条件：奈奎斯特抽样定理实际的模拟滤波器并非严格限带，冲激响应不变法不可避免地会产生混叠失真。冲激响应不变法映射的优缺点（1）冲激响应不变法时域逼近良好。（2）模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系：（3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。ω=ΩT例子12114213113113111101831.04177.013181.0)(1)(11111)(zzzezeezzeezezezeAzHNkTskk滤波器。字利用冲激不变法设计数，函数为：模拟原型滤波器的系统IIRsssssHa3111342)(2解：模拟滤波器的极点为3,121ss令采样周期T=1，可得数字滤波器的极点为3211,ezezpp数字滤波器为2.2双线性变换法冲激响应不变法存在问题的根源:•双线性变换法可以克服这一缺点。模拟滤波器冲激响应的抽样导致频率响应的周期延拓。双线性变换法的基本思想DF的频率响应AF的频率响应逼近双线性变换法的实现方法-图示第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化j1j]Im[zj]Re[zS平面S1平面Z平面实现S平面与Z平面一一对应的关系。（1）频率压缩把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。)2tan(1T1)2(122221111TstheeeesTsTsTsTsTsTsee111100,2tan111，，TTp频率压缩关系：复变量变换关系：jeexeexjxjxjxjx2sin;2cos欧拉公式（2）数字化sCsCzzzCsezeeCTsthCsCTCCTsTsTs,1111)2()2tan(2tan(1111111可得：代入）应的关系，要引入常数滤波器的任一频率有对化波器的某一频率与数字实际中，为了使模拟滤TezTs11S1平面z平面。)2tan(1111zzs双线性变换法的流程：2tan1TTsTsees1111S平面z平面。S1平面TezTs11双线性变换法的优缺点)2tan(c(1)解决了冲激不变法的混叠失真问题。(2)频率对应关系：模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。(3)双线性变换法不适用于设计线性相位的DF。在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。2c要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的所以称之为双线性变换。C通常取TC2例题利用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器解：双线性变换法设计IIRDF的步骤2)由模拟滤波器的指标设计H(s)3)H(s)转换为H(z)11112)()(zzTssHzH1)将数字滤波器的频率指标{k}由k=(2/T)tan(k/2)转换为模拟滤波器的频率指标{k}解：1)模拟低通滤波器的3dB截率为)2/(tan2ccT2)3dB截率为c的一阶模拟BWLP滤波器为1/1)(cssH3)由双线性变换，将s用下式代换例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为c的数字低通滤波器。1)2/tan(21csT11112zzTs取抽样间隔为T11)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z//z/zHccc11112)1(zz)2tan(1)2tan(1//cc(三）用频率变换法设计不同类型的IIRDF两种思路：模拟归一化原型低通，Ωc=1模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟——模拟频带变换数字化模拟归一化原型低通，Ωc=1数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字——数字频带变换数字化冲激不变法双线性变换法模拟低通到模拟高通、带通、带阻的变换1）低通——高通psccS，Ωc——低通，p，——高通Ωc2）低通——带通pps20s——低通，p，——带通Ω03）低通——带阻20220ppss——低通，p