考研级数典型例题完美版讲析

常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念由数列,,,,21nuuu构成的式子称为无穷级数，简称为级数.nu称为级数的一般项，niinus1称为级数的部分和.如果ssnnlim,则称级数1nnu收敛，s称为该级数的和.此时记1nnus.否则称级数发散.（二）性质1,若1nnu收敛，则.11nnnnukku2,若1nnu,1nnv收敛，则.111nnnnnnnvuvu3,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4,若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛.5(收敛的必要条件),若1nnu收敛，则.0limnnu注意：若.0limnnu则1nnu必发散.而若1nnu发散,则不一定.0limnnu(三)两个常用级数1,等比级数2,p级数二，正项级数敛散性判别法(一)比较判别法设11,nnnnvu均为正项级数，且),2,1(nvunn,则1nnv收敛1nnu收敛；1nnu发散1nnv发散(二)极限判别法如果)0(limllnunn,则1nnu发散；如果对,1p)0(limllunnpn,则1nnu则收敛.(三)比值判别法设1nnu为正项级数，若二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设)0(111nnnnuu为交错级数，如果满足：1,),2,1(1nuunn2,0limnnu则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛（一）绝对收敛如果1nnu收敛，则称1nnu绝对收敛.（二）条件收敛如果1nnu收敛，但1nnu发散,则称1nnu条件收敛.（三）定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||()()||0nfxfx（4）估计方法：|()()|0nnfxfxa（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]ab；2）连续性；3）关于n的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x[,]ab，{()}nfx作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当nN时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当nN时，对所有任意固定的x[,]ab，{()}nfx关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）确界法：存在nx，使得||()()||nnnfxfx不收敛于0（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：{()}nfx在c点左连续，{()}nfc发散，则{()}nfx在(,)cc内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数()nux一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）转化为函数列（部分和）（4）余项方法：{()}nrx一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法经典例题例1判断级数(1)11nnn；(2)11nnn的敛散性.解：(1)11nnn=)123(1123pnn收敛(2)由于,011limlim1limnnnnnnnun故11nnn发散.例2判别级数.(1)2)3)(1(1nnn；(2)123nnnn；(3)1)2(1nnnn的敛散性.解：(1)由于2)3(1)3)(1(1nnn()3,2n,而52221)3(1nnnn收敛故由比较判别法可知级数2)3)(1(1nnn收敛.(2)由于nnnn123(),2,1n,而11nn发散，由比较判别法可知级数123nnnn发散.(3)由于21)2)(1(1)2(1nnnnnnn,而31121nnnn发散，由比较判别法可知级数1)2(1nnnn发散.例3判别下列级数的敛散性：(1)1)!1(1nn；(2)1!nnnn解：用比值判别法(1),101lim)!1(1!1limlim1nnnuunnnnn故1)!1(1nn收敛；(2),111lim!)!1()1(limlim11ennnnnuunnnnnnnn故1!nnnn发散.例4判别级数(1)11nnnn；（2）1211lnnn的敛散性.解：(1)由于011lim1limlimnnnnnnnnnnnu,故由极限判别法可知级数11nnnn发散.(2)由于1ln11lnlim11lnlimlim22222ennnunnnnnn故由极限判别法可知级数1211lnnn收敛.例5问级数21)1(nncnn是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由茉布尼兹判别法可知211ncnn与nnn111均收敛，从而原级数收敛.另一方面，nnnnncnncn11222，而11nn发散，故由比较判别法可知121nnnnc发散，从而原级数是条件收敛.练习题1,用比较判别法判别下列级数的敛散性.(1)1)1(1nnn(2)122lnnnn(3)122)12(sinnnn(4)1221nnn2,用比值判别法判别下列级数的敛散性.(1)1!5nnn(2)1)13(52)12(31nnn(3)123nnn3,用极限判别法判别下列级数的敛散性.(1)1)32(1nnnn(2)12lnnnn4判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)4131211(2)11131nnnn(3)213121312131213132(4)1)1ln(1nnn[答案：1,(1)收敛(2)收敛(3)收敛(4)发散2,(1)收敛(2)收敛(3)收敛3,(1)发散(2)收敛4,(1)条件收敛(2)绝对收敛(3)绝对收敛(4)条件收敛]5求幂级数的收敛半径与收敛域.解：由于11lim111limlim1nnnnaannnnn=所以,收敛半径11R收敛区间为).1,1(当1x时,原级数为11)1(nnn收敛；当1x时,原级数为111nn发散.故收敛域为).1,1[6.求幂级数1nnnx的和函数.解：不难求得收敛域为I)1,1[设和函数为)(xS即1)(nnnxxS,Ix逐项求导，xxxSnn11)(11/,.1x再积分，便得)1ln(11)(0xdxxxSx,Ix7.求幂级数1)12(nnxn的收敛域及和函数.解：11111212limlim1Rnnaannnn当1x时，原级数=nnn11)12(发散，故收敛域为).1,1(1)12(nnxn=113)22(nnnnxxn=xxdxxnnxn1312/10=22222/21/1)1()1(3)1(2413.)1(2)1(413]12[13][2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxnn=.)1(422xxx8.将函数211)(xxf展开成的幂级数.解：由于),11(,)1(110xxxnnn故211)(xxf=nnnnnxxxxx264220)1(11,)11(x练习题1,求下列幂级数的收敛半径与收敛域.(1)1nnnx(2)13nnnx(3)11121nnnnx(4)14nnnnx2,求下列幂级数的收敛域及和函数.(1)1nnnx(2)1)2(nnxn(3)21nnnx3,将下列函数展为x的幂级数(1))1ln()(2xxf(2)2)(xexf(3)xaxf)((4)2sin)(xxf[答案：1,(1))1,1(,1R(2))3,3(,3R(3))1,1[,1R(4))4,4[,4R2,(1)2)1(),1,1(xx(2)2)1(2),1,1(xx(3)),1,1[)1ln(xx3,(1)12nnnx(2)02!1nnnnxn(3)1!ln1nnnxna(4)121202)!12(1nnnnxn]1、判断函数列{()}nfx在[0,1]的一致收敛性，其中（1）、()1nnxfxnx，（2）、()(1)nnfxnxx。解：（1）计算得，()lim()lim1nnnnxfxfxxnx，[0,1]x，因而，2|()()|||1nnxfxfxxnxn，[0,1]x，故，{()}nfx在[0,1]一致收敛。（2）计算得()lim()lim(1)0nnnnfxfxnxx，[0,1]x，记()|()()|(1)nnxfxfxnxx，则1()(1)[1(1)]nxnxnx，故，()x在11nxn处达到最大值，因而11||()()||()(1)11nnnnfxfxxnne，故，{()}nfx在[0,1]非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini定理的条件：显然，对任意的n，()(1)[0,1]nnfxnxxC，()0[0,1]fxC；当0x或1x，()0nfx，因而关于n单调；当0x时，考察()(1)nnfxnxx关于n的单调性，为此，将离散变量n连续化，记1(0,1)ax，考查对应函数()ygyya关于y的单调性。显然，()ln[1ln]yyygyayaaaya，故，当101lnya时，()0gy，因而关于y单减。对应得到当11ln1nx时，()nfx关于n单减，故由Dini-定理，{()}nfx在[0,1]中一致收敛。分析显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件,[0,1]nffC是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其