最短路径问题-(PPT课件)

第十三章轴对称如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短FEDCBA①②③要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站饮马问题如图，牧马人从马棚A牵马到河边l饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？ABlABllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC+CB的和最小？分析：ABl•如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短如果点A、B在直线l的异侧时联想：lABC思考：能把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧吗？分析：lABClABC作法及思路分析1.作点B关于直线l的对称点B′，连接CB′。问题可以转化为：当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′2.由上步可知AC+CB=AC+CB′，思考：当C在直线l的什么位置时AC+CB′最短？lABCB′C′略证：试比较新路径与AB′的大小结论：AC+CB这条路径最短．根据前面的分析，我们认为的最短路径是AC+CB=AC+CB′=AB′在直线l上取一个与C点不重合的点C′新路径=AC′+C′B=AC′+C′B′问题1归纳lABClABCB′lABC转化为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl提示：本题也可作A点关于直线l的对称点变式练习1如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A.小河A问题：请你确定这一过程的最短路径.如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在l1、l2的什么位置?l1l2AMNA’A’’转化为数学问题l1l2走A-M-N路线最短.MNA’AA’’ABPQlMN变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。l2l1PQABA’B’l1l2(3)两点在两相交直线内部归纳小结2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决(2)一点在两相交直线内部(1)两点在一条直线同侧l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题新课推进问题2如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA新课推进BA追问1如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ追问2利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？新课推进BAA1MN解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？.BA.a..PQ分析:PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最短即AP+QB最短.此题类似课本问题二的“造桥选址”问题。问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？.BA.a..PQB’A’Q’aBAbMNA'lABClABCB′轴对称变换平移变换两点之间,线段最短.归纳小结