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第1页共12页解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径)12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC()(边化角公式)2sin,sin,sin222abcABCRRR()(角化边公式)3::sin:sin:sinabcABC()sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC做题大法:1)边化角:遇到分式或等式如BAbaBAbsinsin,sinsina(切记必须为齐次式,高考常考点)思考:若CBAbcsinsinsina22是否可化为是否可行2)角化边形如这样的分式或等式baBAbBAsinsin,asinsin思路总结:sinsinabAB2sincRC此为以上转换依据2、正弦定理适用情况:(1)已知两角及任一边;(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况);已知a,b和A,不解三角形,求B时的解的情况:如果sinA≥sinB,则B有唯一解;如果sinAsinB1,则B有两解;如果sinB=1,则B有唯一解;如果sinB1,则B无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况:(1)已知两边及夹角;(2)已知三边。第2页共12页5、常用的三角形面积公式(1)高底21ABCS;(2)BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21(两边夹一角);6、三角形中常用结论(1),,(abcbcaacb即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)(2)sinsin(ABCABabAB在中,即大边对大角,大角对大边)(3)在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA分类题解:类型一:正弦定理1、计算问题:例1、(2013•北京)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=_________例2、已知ABC中,A60,3a,则sinsinsinabcABC=.例3、在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.求角A的大小;2、三角形形状问题例3、在ABC中,已知,,abc分别为角A,B,C的对边,1)BAbcoscosa试确定ABC形状。2)若coscosaBbA,试确定ABC形状。第3页共12页4)在ABC中,已知AbBatantan22,试判断三角形的形状。5)已知在ABC中,CcBbsinsin,且CBA222sinsinsin,试判断三角形的形状。例4、(2016年上海)已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于______类型二:余弦定理1、判断三角形形状:锐角、直角、钝角在△ABC中,若222abc,则角C是直角;若222abc,则角C是钝角;若222abc,则角C是锐角.例1、在△ABC中,若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。2、求角或者边例2、(2016年天津高考)在△ABC中,若=13AB,BC=3,120C,则AC=.例3、在△ABC中,已知三边长3a,4b,37c,求三角形的最大内角.例4、在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大的角和sinC?第4页共12页3、余弦公式直接应用例5、:在ABC中,若222abcbc,求角A.例6、:(2013重庆理20)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+2ab=c2.(1)求C;例7、设△的内角,,所对的边分别为,,.若,则角例8、(2016年北京高考)在ABC中,.(1)求的大小;(2)求的最大值.类型三:正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东,理11】设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3a,1sin2B,6Cπ,则b.ABCABCabc()()abcabcabC2222acbacB2coscosAC第5页共12页例2.1)(22acbca,则B等于。例3.【2015高考天津,理13】在ABC中,内角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知ABC的面积为315,12,cos,4bcA则a的值为.例4.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=31,求sinA=。例5.【2015高考北京,理12】在ABC△中,4a,5b,6c,则sin2sinAC.例6.若△的三个内角满足,则△(A)一定是锐角三角形.(B)一定是直角三角形.(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.变:在ABC中,若7:5:3sin:sin:sinCBA,则角C的度数为例7.△的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.ABCsin:sin:sin5:11:13ABCABCABC第6页共12页例8.设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且53cosA,135cosB,3b则c类型四:与正弦有关的解的个数思路一:利用表格进行a=bsinA,一解bsinAab,两解a=b,一解ab,一解思路二:利用大边对大角进行筛选例1:在△ABC中,bsinA<a<b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定例2:在ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【】A、7a,14b,30A;B、25b,30c,150C;C、4b,5c,30B;D、6a,3b,60B。例3:在ABC中,有几个?则满足此条件的三角形,45),0(3,aoAbabsinAa=bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解第7页共12页类型五:与CBA有关的问题例1:在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为_____________.变:在△ABC中,已知BCBCcos)sin(2sin,那么△ABC一定是。例2:在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值.例3:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.例4:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b)sinC(2cc)sinB(2b2asinA(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinsinBC的最大值.第8页共12页类型六:边化角,角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分,能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢?若两边都是正弦首先考虑角化边,若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(Ⅰ)求角C的大小;例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin2B-sin2Asin2A的值为例3.△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4:(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asinA+csinC-2asinC=bsinB.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.例5:(2016年四川高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.(I)证明:sinsinsinABC;(II)若22265bcabc,求tanB.第9页共12页例6:(2016年浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(I)证明:A=2B;(II)若△ABC的面积2=4aS,求角A的大小.例7:ABC的内角CBA,,所对的边分别为cba,,.(I)若cba,,成等差数列,证明:CACAsin2sinsin;(II)若cba,,成等比数列,求Bcos的最小值.类型七:面积问题面积公式:例1:设的内角所对边的长分别是,且b=3,c=1,△ABC的面积为2求cosA与a的值;例2:在中,角的对边分别为,。(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的面积.ABC,,ABC,,abcABC,,ABC,,,3abcB4cos,35AbsinCABC第10页共12页例3:C的内角,,C所对的边分别为a,b,c.向量,3mab与cos,sinn平行.(I)求;(II)若7a,2b求C的面积例4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积;(2)若c=1,求a的值.例5:(2013•浙江)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.例6:(2016年全国I高考)ABC△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos(coscos).CaB+bAc(I)求C;(II)若7,cABC△的面积为332,求ABC△的周长.第11页共12页题型八:图形问题例1:如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?例2.【2015高考湖北,理13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CDm.正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32.已知锐角△ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为A.75°B.60°C.45°D.30°3.(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABCA.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A.518B.34C.32D.785.(2010·湖南高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=2a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b大小不能确定第12页共12页二、填空题6.△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a=3,b=3,C=30°,则A=7.(2010·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=2,sinB+cosB=2,则角A的大小为________.8.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.三、解答题9.△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b.10.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ab.(1)求角C的大小;(2)又若sinAsinB=34,判断△ABC的形状.11.(2010·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a
本文标题:解三角形题型总结
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