复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(学生版)

第1页教学目标1、掌握幂运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。教学重难点教学重点：乘法公式的运用；因式分解的方法教学难点：运用因式分解与整式乘法的相互关系，寻求因式分解的方法。整式的乘法与因式分解章节复习一、上节回顾二、本节内容知识点一：幂运算1.同底数幂相乘同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n(m，n是正整数)当三个或三个以上同底数幂相乘时，仍适用法则，am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整数).2.幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=anm(m，n都是正整数)(1)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).(2)这个性质可逆用，即anm=(am)n=(an)m3.积的乘方积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n=an·bn(n为正整数).这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.(1)这个性质可逆用，即an.bn=(ab)n，即指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，再求积的同次幂.(2)进行积的乘方运算时，不要出现漏掉一些因式乘方的错误，如(-2ab2)3≠-2a3b6等.【例1-1】下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．（a2）2•a2C．a2•a3D．a2+a2+a2举一反三：1.下列算式中，结果等于x6的是（）A．x2•x2•x2B．x2+x2+x2C．x2•x3D．x4+x22、若2x+3y=4，则4x•8y的值为第2页3、若a3•am=a9，则m=知识点二：整式的乘法1.单项式乘单项式：系数乘以系数作为积中的系数，所有不同因式都作为积中的因式，相同字母或相同因式的指数由该字母或因式的指数和为它们的指数.(1)对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数-起写在积里，注意不能漏掉这部分因式.(2)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先算乘方，再算乘法”的顺序进行.(3)单项式乘以单项式，结果仍是单项式.对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其视为一个整体来运算.三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2.单项式乘多项式：单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.单项式与多项式的积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.3.多项式乘以多项式多项式乘以多项式的法则：(a+b)(m+n)=ma+mb+na+nb.这就是说:多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：(1)运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项以前，应是两个多项式的项数的积.(2)运算时要注意积的符号.(3)运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.【例2-1】计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（）A．2xy-2yzB．-2yzC．xy-2yzD．2xy-xz举一反三：1.计算（-2x+1）（-3x2）的结果为（）A．6x3+1B．6x3-3C．6x3-3x2D．6x3+3x22.如果(x-3)(2x+4)=2x2-mx+n，那么m、n的值分别是（）A．2，12B．-2，12C．2，-12D．-2，-123.若（x-2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a和b的值（）A．a=0；b=2B．a=2；b=0C．a=-1；b=2D．a=2；b=4知识点三：乘法公式1、平方差公式：22ababab2、完全平方公式：2222ababab第3页【例3-1】1．若229ykxyx是一个完全平方式，则常数k的值为（）A．6B．-6C．±6D．无法确定【例3-2】下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）举一反三：1、下列计算正确的是（）A．2222425252525yxyxyxyxB．22291)3()1()31)(31(aaaaC．222249232332xyxyxyyxD．8242xxx2．)43)(43(xx等于（）A．224)3(xB．2234xC．2243xD．2243x3．在①22242aa；②2911311131xxx；③532)1()1()1(mmm；④322842baba中，运算正确的是（）A.②①B.②③C.②④D.③④4.若2429)3(xyyxM，那么代数式M应是（）A．23yxB．xy32C．23yxD．23yx知识点四：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.第4页注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；⑶分组分解法能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)⑷十字相乘法x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．【例4-1】把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3D．a=2，b=-3【例4-2】下列因式分解正确的是（）A.m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B.x2+2x﹣1＝（x﹣1）2C.a2﹣a＝a（a﹣1）D.a2+2a+1＝a（a+2）+1举一反三：1.因式分解x﹣4x3的最后结果是（）第5页A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（）A．b＞c＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；第6页④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是三角形．第7页17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．第8页（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。五、课后巩固1、已知am=2，an=4，求下列各式的值，则am+n=；a3m+2n=。2、已知2a=m，32b=n，a，b为正整数，23a+10b的值=．3、已知9n+1-32n=72，n的值=．4、已知an=-1，b2n=3，（-a2b）4n的值=．5.如果（x+a)(x+b）的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（）A．a=bB．a=0