概率论第三章题库

第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、（易）设任意二维随机变量（X，Y）的两个边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)，则以下结论正确的是（）A.1)(dxxfXB.21)(dxyfYC.0)(dxxfXD.0)(dxyfY2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)XYN,则X~（）A.211(,)NB.221(,)NC.212(,)ND.222(,)N3、（易）设二维随机变量(X，Y)服从区域D：x2+y2≤1上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度为（）A.f(x，y)=1B.1(,)0,xyDfxy，（,）,其他C.f(x，y)=1D.1(,)0,xyDfxy，（,）,其他4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（）.A.1,0.8,(,)0,.xyFxy其他B..,0,0,0,),(00其他yxdsdteyxFyxtsC.yxtsdsdteyxF),(D..,0,0,0,),(其他yxeyxFyx5、（易）设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=,,0;20,20,41其他yx则P{0X1，0Y1}=（）A．41B．21C．43D．16、（中等）设随机变量X，Y相互独立，其联合分布为则有（）A．92,91B．91,92C．32,31D．31,327、（中等）设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(,xy).其联合概率分布律为YX012-10.20.10.1000.3020.100.2则F（0,1）=（）A.0.2B.0.6C.0.7D.0.88、（难）设随机变量X和Y相互独立，且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，则Z=3X-Y~（）A.N(7，21)B.N(7，27)C.N(7，45)D.N(11，45)9、（难）设随机变量X，Y相互独立，且X~N（2，1），Y~N（1，1），则（）A.P{X-Y≤1}=21B.P{X-Y≤0}=21C.P{X+Y≤1}=21D.P{X+Y≤0}=2110、（易）设二维随机变量),(YX的分布函数为),(yxF，则),(xF（）A．0B．)(xFXC．)(yFYD．1二、填空题11、（易）设随机变量X，Y相互独立，且P{X≤1}=21，P{Y≤1}=31，则P{X≤1,Y≤1}=___.12、（易）设二维随机变量),(YX的分布函数为),(yxF，则(,)F______.13、（中等）设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,,0,0,0),e1)(e1(),(其他yxyxFyx，则当x0时,X的边缘分布函数FX(x)=__________.14、（易）已知当0x1,0y1时，二维随机变量(X,Y）的分布函数F(x,y)=22xy，记（x,y）的概率密度为f(x,y)，则f(1148，）=__________.15、（中等）设二维随机变量（X，Y）的分布律为则2,1YXP______.16、（易）设二维随机变量(X，Y)的概率密度f(x,y)=，yx，其他,0,10,101则P{X+Y≤1}=____.17、（中等）设随机变量X的分布律为，且Y=X2，记随机变量Y的分布函数为FY（y），则FY（3）=__________.18、（易）设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为，，则1YXP___________.19、（易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX12300.20.10.1510.30.150.1YX050416123141X-1012P8183161167X-101P31123125Y-10P4143则P{XY=0}=__________.三、计算题20、（中等）.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）求关于X和关于Y的边缘分布；（3）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表345{}iPXx13511C103522C103533C10610203511C103522C103103002511C10110{}iPYy110310610(2)因6161{1}{3}{1,3},101010010PXPYPXY故X与Y不独立21、（中等）某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名，现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席，设X，Y分别为主席来自理科、工科的人数，求：（1）（X,Y）的联合分布律；（2）X,Y的边缘分布.P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56YXP(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56X边缘分布YYYYP(X=i)0123X01/569/569/561/565/14X13/289/283/28015/28X23/563/56003/28Y边缘分布P(Y=j)5/2815/2815/561/56122、（中等）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）常数c;∫f(x,y)dxdy=∫cxydxdy=c∫xdx∫ydy=c(1/2*x^2|从0到2)(1/2*y^2|从0到1)=c(1/2*2^2-0)(1/2*1^2-0)=c*2*1/2=c并且∫f(x,y)dxdy=1所以c=1.,0;20,20,),(其他yxcxyyxf（2）求（X，Y）分别关于X，Y的边缘密度);(),(yfxfYX（3）判定X与Y的独立性，并说明理由；（4）求P1,1YX.23、（较难）设随机变量(,)XY的分布函数为(,)(arctan)(arctan)23xyFxyABC，试求：（1）常数A、B、C（2）试问X与Y是否独立？（3）求X与Y的联合概率密度函数F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-∞,-∞)=A(B-π/2)(C-π/2)=0F(-∞,+∞)=A(B-π/2)(C+π/2)=0F(+∞,-∞)=A(B+π/2)(C-π/2)=0F(+∞,+∞)=A(B+π/2)(C+π/2)=1解得：A=1/π^2,B=π/2,C=π/2F(+∞,y)=1/2+1/π*arctan（y/3)F(x,+∞)=1/2+1/π*arctan（x/2)F(x,y)=F(+∞,y)×F(x,+∞)X和Y相互独立.(X,Y)的联合概率密度：6/(11π)(π/2+arctanx/2)(π/2+arctanY/3)24、（中等）设二维随机变量(,)XY的概率密度为602,24,0kxyxyfxy求：（1）常数k；（2）(,)XY关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy；（3）4PXY.【解】（1）由性质有2402(,)dd(6)dd81,fxyxykxyyxk故18R(3)24{4}(,)dd(,)ddXYDPXYfxyxyfxyxy如图b240212d(6)d.83xxxyy题5图25、(中等）设二维随机变量(,)XY的概率密度为其他2360,0,0xyexyfxy求：（1）(,)XY关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy；（2）判断随机变量X与Y是否独立？26、（中等）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在[0，4]上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye求X和Y的联合概率密度(,)fxy.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx其他;21e,1,()20,yYyfy其他.其他故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyfxyXYfxfy独立其他题14图