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第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、(易)设任意二维随机变量(X,Y)的两个边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y),则以下结论正确的是()A.1)(dxxfXB.21)(dxyfYC.0)(dxxfXD.0)(dxyfY2、(易)设二维随机变量221212(,)~(,,,,)XYN,则X~()A.211(,)NB.221(,)NC.212(,)ND.222(,)N3、(易)设二维随机变量(X,Y)服从区域D:x2+y2≤1上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度为()A.f(x,y)=1B.1(,)0,xyDfxy,(,),其他C.f(x,y)=1D.1(,)0,xyDfxy,(,),其他4、(中等)下列函数可以作为二维分布函数的是().A.1,0.8,(,)0,.xyFxy其他B..,0,0,0,),(00其他yxdsdteyxFyxtsC.yxtsdsdteyxF),(D..,0,0,0,),(其他yxeyxFyx5、(易)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=,,0;20,20,41其他yx则P{0X1,0Y1}=()A.41B.21C.43D.16、(中等)设随机变量X,Y相互独立,其联合分布为则有()A.92,91B.91,92C.32,31D.31,327、(中等)设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(,xy).其联合概率分布律为YX012-10.20.10.1000.3020.100.2则F(0,1)=()A.0.2B.0.6C.0.7D.0.88、(难)设随机变量X和Y相互独立,且X~N(3,4),Y~N(2,9),则Z=3X-Y~()A.N(7,21)B.N(7,27)C.N(7,45)D.N(11,45)9、(难)设随机变量X,Y相互独立,且X~N(2,1),Y~N(1,1),则()A.P{X-Y≤1}=21B.P{X-Y≤0}=21C.P{X+Y≤1}=21D.P{X+Y≤0}=2110、(易)设二维随机变量),(YX的分布函数为),(yxF,则),(xF()A.0B.)(xFXC.)(yFYD.1二、填空题11、(易)设随机变量X,Y相互独立,且P{X≤1}=21,P{Y≤1}=31,则P{X≤1,Y≤1}=___.12、(易)设二维随机变量),(YX的分布函数为),(yxF,则(,)F______.13、(中等)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,,0,0,0),e1)(e1(),(其他yxyxFyx,则当x0时,X的边缘分布函数FX(x)=__________.14、(易)已知当0x1,0y1时,二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=22xy,记(x,y)的概率密度为f(x,y),则f(1148,)=__________.15、(中等)设二维随机变量(X,Y)的分布律为则2,1YXP______.16、(易)设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)=,yx,其他,0,10,101则P{X+Y≤1}=____.17、(中等)设随机变量X的分布律为,且Y=X2,记随机变量Y的分布函数为FY(y),则FY(3)=__________.18、(易)设随机变量X和Y相互独立,它们的分布律分别为,,则1YXP___________.19、(易)设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX12300.20.10.1510.30.150.1YX050416123141X-1012P8183161167X-101P31123125Y-10P4143则P{XY=0}=__________.三、计算题20、(中等).袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布;(2)求关于X和关于Y的边缘分布;(3)X与Y是否相互独立?【解】(1)X与Y的联合分布律如下表345{}iPXx13511C103522C103533C10610203511C103522C103103002511C10110{}iPYy110310610(2)因6161{1}{3}{1,3},101010010PXPYPXY故X与Y不独立21、(中等)某高校学生会有8名委员,其中来自理科的2名,来自工科和文科的各3名,现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席,设X,Y分别为主席来自理科、工科的人数,求:(1)(X,Y)的联合分布律;(2)X,Y的边缘分布.P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56YXP(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56X边缘分布YYYYP(X=i)0123X01/569/569/561/565/14X13/289/283/28015/28X23/563/56003/28Y边缘分布P(Y=j)5/2815/2815/561/56122、(中等)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求:(1)常数c;∫f(x,y)dxdy=∫cxydxdy=c∫xdx∫ydy=c(1/2*x^2|从0到2)(1/2*y^2|从0到1)=c(1/2*2^2-0)(1/2*1^2-0)=c*2*1/2=c并且∫f(x,y)dxdy=1所以c=1.,0;20,20,),(其他yxcxyyxf(2)求(X,Y)分别关于X,Y的边缘密度);(),(yfxfYX(3)判定X与Y的独立性,并说明理由;(4)求P1,1YX.23、(较难)设随机变量(,)XY的分布函数为(,)(arctan)(arctan)23xyFxyABC,试求:(1)常数A、B、C(2)试问X与Y是否独立?(3)求X与Y的联合概率密度函数F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-∞,-∞)=A(B-π/2)(C-π/2)=0F(-∞,+∞)=A(B-π/2)(C+π/2)=0F(+∞,-∞)=A(B+π/2)(C-π/2)=0F(+∞,+∞)=A(B+π/2)(C+π/2)=1解得:A=1/π^2,B=π/2,C=π/2F(+∞,y)=1/2+1/π*arctan(y/3)F(x,+∞)=1/2+1/π*arctan(x/2)F(x,y)=F(+∞,y)×F(x,+∞)X和Y相互独立.(X,Y)的联合概率密度:6/(11π)(π/2+arctanx/2)(π/2+arctanY/3)24、(中等)设二维随机变量(,)XY的概率密度为602,24,0kxyxyfxy求:(1)常数k;(2)(,)XY关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy;(3)4PXY.【解】(1)由性质有2402(,)dd(6)dd81,fxyxykxyyxk故18R(3)24{4}(,)dd(,)ddXYDPXYfxyxyfxyxy如图b240212d(6)d.83xxxyy题5图25、(中等)设二维随机变量(,)XY的概率密度为其他2360,0,0xyexyfxy求:(1)(,)XY关于X,Y的边缘概率密度(),()XYfxfy;(2)判断随机变量X与Y是否独立?26、(中等)设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在[0,4]上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=.,0,0,212/其他yye求X和Y的联合概率密度(,)fxy.【解】(1)因1,01,()0,Xxfx其他;21e,1,()20,yYyfy其他.其他故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyfxyXYfxfy独立其他题14图
本文标题:概率论第三章题库
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