]数列求和公开课高三复习

通江县永安中学授课教师：岳志峰数列是高考的必考内容：一般有以下两种形式：(1)以选择、填空题的形式考查等差、等比数列基本量的计算.(2)以解答题的形式考查数列与函数，向量，不等式的综合题同时考查数列求通项和求和的方法．2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（等差数列的前n项和公式是什么？等比数列的前n项和公式是什么？1111(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq（）回忆：公式法：1、直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和2.一些常见数列的前n项和公式：①1＋2＋3＋4＋…＋n＝②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝④12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16⑤13＋23＋33＋…＋n3＝[nn＋12]2＝n2n＋124n2n2＋nnn＋12例1：已知数列{an}①若an=2n+3,求Sn.②若an=3n求snnnn42)325(2n{}aanSnn2)(11\an是等差数列：）解：由通项可知（{}qqaSnn\1)1(21是等比数列）解：由通项可知数列（na31313--n）（23321)13(231nn把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差数列等比数列，再求解。常见类型：{}{}是等比数列是等差数列，数列其中数列常见类型：nnnnnbabac分组求和：{}{}{}nnb:2:12-9)17，2010(ＴnabSanaSannnnnnn项和及前求的等比数列，是首项为１，公比为３）设数列（及）求（项和的前为数列的等差数列，，公差为是首项为１已知数列重庆例2：dnaadan)1(2,19)1(111\da，公差为解：设首项为)2()1(19nn2212)(1nnaanSnnn202)22119(2nnannnnn221331:211bb，即）解：由题意知（{}{}{}nnb:2:12-9)17，2010(ＴnabSanaSannnnnnn项和及前求的等比数列，是首项为１，公比为３）设数列（及）求（项和的前为数列的等差数列，，公差为是首项为１已知数列重庆nnbbbbT321）（）（nn221122133331210)20(31)31(12nnnnnn202132nan221nnSn202)2213()22213()12213(110nn{}.S2422nnnnnnaa项和求前中，已知数列练习：8258252121824262224n2422412132322222121nnnnnnnnnnnnaaaS解：将数列的通项分解成两项或多项的差，使数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首尾若干项。knnkknnan111)(1常见类型：裂项求和法:{}{}{}nnnnnnnnnTnbNnabSaSna，aaaa项和的前求数列）令（及）求（项和为的前数列满足：已知等差数列山东，１７)(112126,7)2010(275326717531aaada　，，公差为）解：设首项为（例3：\232610272111dadada122)1(3)1(1\nndnaannnaanSnn22)(21\nnnann4411)12(111b12222）可知）由（（nnnbbbbbT1321)111(11n131-2121-141nnn）（）（）（)1(4)111(41nnn)1(41nn)111(41nn{}{}{}nnnnnnnnnTnbNnabSaSna，aaaa项和的前求数列）令（及）求（项和为的前数列满足：已知等差数列山东，１７)(112126,7)2010(275312nan{}nnnnnnaSa项和求数列的前中，已知数列)2(1练习：2153142131121\nnaaasnn21111111215131412131121nnnnnn211121121nn2123243nnn2112121nnnnan解：常见的拆项方法有：(1)=;(2)=;(3)=;1(1)nn111nn1()nnk111()knnk1(1)(2)nnn111[]2(1)(1)(2)nnnnn(4)12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；(5)1n＋n＋1＝n＋1－n.若{an}为等差数列，{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，求前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，错位一项与{anbn}的同次项对应相减，这种数列求和的方法称为错位相减法．即等比数列求和公式推导过程的推广。{}{}是等比数列是等差数列，数列其中数列常见类型：nnnnnbabac错位相减法例4：错位相减法已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______.解析：∵an＝n·2n∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋2例4：{}.,3nnnnSnnaa项和求前中，已知数列233133323131432nnnnnS13213313131312-21nnnnS得：43341233131311nnnnnSn即233133323131432nnnnnS数列{an}中，与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个数列的和，这一求和方法称为倒序求和法．倒序相加法:{}nnS6n1806366S:），求（项的和为最后，项和为，前项和为中前等差数列已知nann例5：①36解：由题意知654321aaaaaa：②1805n4n3n2n1nnaaaaaa216）②得6（①n1\aa36即：n1aa）（6\n18n2)n(Sn1naa1.公式法2.分组求和法3.裂项相消法4.错位相减法5.倒序相加法小结:一：重要的数学方法：二：重要的数学思想：“化归”转化的思想.