对称结构在反对称荷载作用下

普通高等教育“十一五”国家级规划教材第二十一章力法第一节超静定结构的概念第二节力法的基本概念第三节超静定次数的确定与基本结构第四节力法典型方程第五节力法的计算步骤和举例第六节超静定结构的位移计算和最后内力图的校核第七节对称性的利用第八节支座移动时超静定结构计算第九节超静定结构的特性普通高等教育“十一五”国家级规划教材掌握超静定结构概念，能确定超静定次数掌握力法基本原理掌握力法解一次超静定梁和刚架熟悉对称性的利用主要任务:普通高等教育“十一五”国家级规划教材第一节超静定结构的概念超静定结构是工程实际中常用的一类结构。前已述及，超静定结构的反力和内力仅用静力平衡条件不能全部求出。如图所示的连续梁，于是也就不能进一步求出其内力。所以，超静定结构的内力计算必须考虑结构的位移条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材常见的超静定结构有：超静定梁（图a），超静定刚架（b），超静定桁架（图c），超静定拱（图d），超静定组合结构（图e），铰接排架（图f）等。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第二节力法的基本概念下面以图a所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。一、力法的基本结构和基本未知量图a所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定结构。若将支座B作为多余约束去掉，代之以多余未知力X1，则得到图b所示的静定结构。b基本体系、c基本结构。如果设法求出多余未知力X1，那么原结构的计算问题就可转化为静定结构的计算问题。因此，多余未知力是最基本的未知力，称为力法的基本未知量。普通高等教育“十一五”国家级规划教材二、力法的基本方程用来确定多余未知力X1的位移条件为：基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处的位移Δ1应与原结构中相应的位移相等，即011111111X11111X再令表示X1为单位力即时，点B沿X1方向上的位移，则有，于是上式可写为01111X这就是一次超静定结构的力法基本方程。普通高等教育“十一五”国家级规划教材现用图乘法计算位移和。首先，分别绘出M及荷载FP单独作用于基本结构时的弯矩图（图a、b）。由图乘法求得EIlllEI332213211111EIlFlllFEI48565222113104853313EIlFXEIl代入力法方程得：FX1651多余未知力求出以后，即可按静力平衡条件求得其反力及内力。最后的弯矩图c）可按叠加原理由下式求得：MXMM11普通高等教育“十一五”国家级规划教材综上所述可知，力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余约束后的静定结构为基本结构，并根据基本体系去掉多余约束处的已知位移条件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第三节超静定次数的确定与基本结构超静定次数是指超静定结构中多余约束的个数。通常，可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法来确定超静定次数。如果原结构在去掉n个约束后，就成为静定的，则原结构的超静定次数就是n次。在超静定结构中去掉多余约束的方式有以下几种：1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。普通高等教育“十一五”国家级规划教材2.拆除一个单铰或去掉一个铰支座，相当于去掉两个约束。3.切断一根梁式杆或去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。4.在刚性杆上或固定支座上加一个单铰，相当于去掉一个约束。普通高等教育“十一五”国家级规划教材由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。例如图a所示结构，基本结构图b，也图c。但应注意，基本结构必须是几何不变的，因此，某些约束是绝对不能去掉的。例如对于上述结构中任一根竖向支座链杆就不能去掉，否则将成为瞬变体系（图d）需要指出，对于同一结构，可用各种不同方式去掉多余约束而得到不同的静定结构。但是，无论哪种方式，所去掉的多余约束的个数必然是相等的。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第四节力法典型方程用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法方程，以求解多余未知力。下面以图a所示三次超静定刚架为例，说明如何建立多次超静定结构的力法基本方程。现去掉支座B的三个多余约束，并以相应的多余未知力X1、X2和X3代替，则基本体系如图b所示。由于原结构在固定支座B处不可能有任何位移，因此，在基本体系上点B沿X1、X2和X3方向上的相应位移Δ1、Δ2和Δ3都应为零。普通高等教育“十一五”国家级规划教材000333323213132323222121213132121111XXXXXXXXX图c、d、e、f为各单位力和荷载FP分别作用于基本结构上时，点B沿各多余未知力方向上的位移.根据叠加原理，可将基本体系应满足的位移条件表示为这就是求解多余未知力X1、X2和X3所要建立的力法基本方程。其物理意义是基本结构在全部多余未知力和已知荷载共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相等。普通高等教育“十一五”国家级规划教材解力法方程得到多余未知力后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或按下述叠加原理求出弯矩NN22N11NNQQ22Q11QQ2211FXFXFXFFFXFXFXFFMXMXMXMMnnnnnn求出弯矩后，也可以直接应用平衡条件求其剪力和轴力普通高等教育“十一五”国家级规划教材第五节力法的计算步骤和举例力法的计算步骤归纳如下：(1)去掉原结构的多余约束并代之以多余未知力，选取基本体系。(2)根据基本结构在多余未知力和原荷载的共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程。(3)作出基本结构的单位内力图和荷载内力图，或写出内力表达式，按求静定结构位移的方法，计算系数和自由项。(4)解方程，求解多余未知力。(5)作内力图。普通高等教育“十一五”国家级规划教材例1用力法计算图a所示刚架，并作出最后弯矩图。解(1)选取基本体系此刚架为一次超静定结构，选取基本体系图b所示。(2)建立力法典型方程0022221211212111XXXX0022221211212111XXXX(3)求系数和自由项1MM绘出各单位弯矩图和荷载弯矩图如图c、d、所示。普通高等教育“十一五”国家级规划教材1384743233321316414231311EIqllqlllqlEIlqlEIP13212111163813441EIlllEIllEI1384743233321316414231311EIqllqlllqlEIlqlEIP(4)求多余未知力将系数和自由项代入力法典型解得2471qlx普通高等教育“十一五”国家级规划教材(5)作内力图梁端弯矩可按MXMXMM2211计算，最后弯矩图如图所示。普通高等教育“十一五”国家级规划教材例2试计算图a所示桁架各杆的轴力。已知各杆的EA为常数。解(1)选取基本体系如图b所示。(2)建立力法典型方程根据切口两侧截面沿杆轴向的相对线位移应等于零的位移条件。建立力法典型方程如下：01111X普通高等教育“十一五”国家级规划教材(3)求系数和自由项分别求出单位力X1=1和荷载单独作用于基本结构时所产生的轴力，如图c、d所示。计算各系数和自由项如下EAlllEAEAlF21222142112221N11EAlFlFlFEIEAlFF2222122112NP1N1普通高等教育“十一五”国家级规划教材(4)求多余未知力将系数和自由项代入典型方程求解，得FlEAEAlFX22212221111(5)求各杆的最后轴力N11NNFXFF由公式求得各杆轴力如图e所示。例如，求BC杆的最后轴力22221NFFFFBC普通高等教育“十一五”国家级规划教材第六节超静定结构位移计算和最后内力图的校核的一、超静定结构的位移计算第二十章介绍的应用单位荷载法计算结构的位移是一个普遍性的方法，它不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构。从力法的基本原理可知，基本结构在荷载和多余未知力共同作用下产生的内力和位移与原结构完全一致。当多余未知力被确定之后，或者说超静定结构被求解以后，基本体系就完全代表了原结构，不仅求结构的内力如此，求结构的位移也如此。也就是说，求原结构的位移问题可归结为求基本体系的位移问题。普通高等教育“十一五”国家级规划教材下面以图a所示超静定刚架为例，求结点C的转角。CMC假设刚架的最后弯矩图已用力法求出，如图b所示，它即相当于计算位移时的实际弯矩图。现欲求结点C的转角（图21-15c）。利用图乘法得CCC现欲求结点C的可在基本结构的C点加一单位力偶M=1，作出单位弯矩图（图c）。利用图乘法得（图21-15c）。利用图乘法得普通高等教育“十一五”国家级规划教材（）EIqlqllqllEIC56282114211322这就是利用基本体系求得的原结构中结点C的转角。CM特别指出：由于原结构的内力和位移并不因所取的基本结构不同而改变，因此，可把其最后内力看作是由任意一种基本结构求得的。这样，在计算超静定结构位移时，也就可以将所虚拟的单位力加于任一基本结构作为虚拟状态。如求结点C的转角时，可采用如图d所示的基本结构，相应地作出单位弯矩图，则EIqlqllqllEIC562183213214211322普通高等教育“十一五”国家级规划教材二、最后内力图的校核最后内力图是结构设计的依据，因此，在求得内力图后应该进行校核，以保证它的正确性。正确的内力图必须同时满足平衡条件和位移条件。下面以图a所示刚架为例，说明内力图的校核方法。1.平衡条件的校核结构的内力应满足平衡条件，是指从结构中截取的任何一部分都应满足平衡条件。一般的作法是截取结点或杆件，检查是否满足平衡条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材例如，在图21-16a所示刚架中截取结点B（图21-16e），有0mkN201232BM0kN426464250kN35.15.4yxFF截取结点B（图e），再取杆件ABC（图f)均满足平衡条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材2.位移条件的校核只有平衡条件的校核，还不能保证超静定结构的内力图一定正确，因为多余未知力是通过位移条件求得的，其计算是否有误，必须通过位移条件来校核。位移条件校核的方法是：根据最后内力图验算沿任一多余未知力Xi（i=1,2,…,n）方向的位移，看是否与实际相符。对于在荷载作用下的刚架，只考虑弯矩的影响，可采用下式校核0dsEIMMii式中iM为基本结构在单位力Xi=1作用下的弯矩，M为最后的弯矩。普通高等教育“十一五”国家级规划教材KM例如，为了校核图a所示的弯矩图，可选图g所示的单位弯矩图由于在单位力XK=1作用下，只有封闭框格ABED部分产生弯矩=1，因此，得上式说明：当结构只受荷载作用时，任何封闭框格的最后弯矩图的面积除以相应刚度后的代数和应等于零。KM0MEIAdsEIMdsEIMMKK普通高等教育“十一五”国家级规划教材第七节对称性的利用在工程中，很多结构是对称的。所谓对称结构就是指：（1）结构的几何形状和支承情况对某