基于根轨迹法的一级倒立摆校正网络设计

一、一阶倒立摆动力学建模及稳定性分析1、倒立摆对象的数学建模倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：系统的相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆质量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直方向上方向的夹角θ摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）图2为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：MxFbxN由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：22(sin)dNmxldt将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：2()cossinMmxbxmlmlF为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：22(cos)dPmgmldt力矩平衡方程如下：sincosPlNlI因为此方程中力矩的方向，由于coscossinsin故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：2()sincosImlmglmlx微分方程模型设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ1时，则可以进行如下近似处理：2cos1sin()0ddt线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：2()()ImlmglmlxMmxbxmlu传递函数模型对上述方程组进行拉氏变换后得到：22222()()()()()()()()()ImlssmglsmlXssMmXssbXsmlssUs解上述方程可得输入量为加速度，输出量为摆杆摆角的传递函数：22()()()smlVsImlsmgl其中vx。实际系统参数如下：M小车质量，1.096Kg;m摆杆质量，0.109Kg;b小车摩擦系数，0.1N/m/sec；l摆杆转动轴心到杆质心的长度，0.25m;I摆杆质量，0.0034Kg·m·m；T采样时间，0.005s。将上述系统参数代入可得系统实际模型。摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：Φ(s)/V(s)=2.6683/(s²-26.1493)2、校正前的稳定性分析根据校正前摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：Φ(s)/V(s)=2.6683/(s²-26.1493)可得两个开环极点分别为是是s1=5.1136,s2=-5.1136.由此开环传递函数编写matlab程序画出未校正前系统的根轨迹：程序：G=tf([1],[10-26.1493]);K=2.6683;G0=K*G;figure(1)rlocus(G0);rlocfind(G0);figure(2)sys=feedback(G0,1);step(sys);校正前根轨迹-6-4-20246-6-4-20246RootLocusRealAxisImaginaryAxis可以看出，闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于远点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。需要校正。二、根轨迹法的倒立摆（超前）校正网络设计对系统设计控制器，设计指标：1）调节时间：ts=0.5s(2%)2)最大超调量:σ=10%令σ=10%，查表可得ϟ=0.6，因为当误差带为0.02时ts=4.4/ϟWn,令ts=0.5s，带入数据可得Wn=14.67.已知S1=-ϟWn+jWn（1-ϟ）,S2=-ϟWn-jWn（1-ϟ）带入数据可得一对期望的闭环主导极点：S1=-8.802+11.736j，S2=-8.802-11.736j带入根轨迹的相角条件可得角度为-247.31°则可判断s1与s2并不在最终校正后我们得到的开环传递函数的根轨迹曲线中。所以为了让这两个根落在根轨迹上，我们应该补上一个α=-247.31°+180°=67.31°的角。下面给出利用几何作图法来获得我们所用的超前校正网络环节。（1）.过s1（-8.802,11.736）点做实轴的平行线，在平行线上S1左侧设一点为M。（2）连接s1与原点O，利用量角器测得∠Ms1O=126.87°.做角平分线s1N.(3).通过上面的计算我们得出应该补一个α=67.31°的角，因此我们以角平分线s1N为零刻度线分别向两侧补一个α/2=33.65°的角度。且与实轴交于p3，z两点.通过测量p3点坐标（-27.3，0）,z点（-7.01，0）。由此可以得到所补得超前校正网络中开环零点为-7.,01，开环极点为-27.3.(4).通过以上计算可知，最终修正后稳定后的开环传递函数实轴上有3个开环极点是p1、p2、p3.一个开环零点为z点。直尺测量可得|s1p1|=18.2041cm,|s1p2|=12.3018cm,|s1p3|=21.9068cm，|s1z|=11.872cm由根轨迹的模值条件：K*=（18.2041*12.3018*21.9068）/11.872=413.231.则我们所需要添加的校正环节的开环增益应为K=413.231/2.6683=154.8671.即我们所加的超前校正网络的传递函数为G0（s）=154.8671(s+7.01)/(s+27.3).(5).所以最终可以得到稳定系统的开环传递函数为:G(s)=G0(s)*Gc(s)=413.231(s+7.01)/(s³+27.3s²-26.1493s-713.8759).（6）编写matalb程序画出根轨迹G0=tf([17.01],[127.3-26.1493-713.8759]);K=413.2319;G=G0*K;figure(1)rlocus(G);rlocfind(G);figure(2);t=0:0.01:10;sys=feedback(G,1);step(sys,1);校正后根轨迹：-30-25-20-15-10-50510-60-40-200204060RootLocusRealAxisImaginaryAxis（7）校正前后单位阶跃响应曲线比较校正前的单位阶跃响应曲线：00.511.522.533.502468101214x105StepResponseTime(sec)Amplitude校正后的单位阶跃响应曲线：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.41.61.8System:sysTime(sec):0.226Amplitude:1.66System:sysTime(sec):0.669Amplitude:1.33StepResponseTime(sec)Amplitude校正前单位阶跃响应曲线发散，系统不稳定。校正后单位阶跃响应曲线虽然有较大的超调（主导极点附近有零点），但最终还是趋于稳定。三、实时控制实验根据所求传递函数，在倒立摆设备实施控制，实现了对摆杆角度的简单控制，即摆杆能稳定。四、总结与体会跟着杨老师学习了为期10周的倒立摆控制系统，不光对课本知识有了更加深刻的认识，初步了解了matlab的使用，还学到许多课本上学不到的东西，参加此次的实验教学，使我受益匪浅。