数列中的整数问题

欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第1页共16页数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若21nkkZ，则称n为奇数；若2nkkZ，则称n为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数奇数偶数②奇数偶数奇数③偶数偶数偶数④奇数偶数偶数⑤偶数偶数偶数⑥奇数奇数奇数（3）若,abZ，且ab，则1ab（4）已知,,abRab，若nZ，且,nab，则n只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZb，称a能被b整除，则有：①ba②b为a的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若,2,5nNn，则n的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第2页共16页（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数。二、典型例题：例1：已知数列na的通项公式为27nan，若12mmmaaa为数列na中的项，则m____思路：12272523mmmmmaaam，na中的项为大于等于5（15a）的奇数，所以考虑将12mmmaaa向奇数形式变形：23423227252323mmmmmm88236292323mmmm，可得823m应该为大于等于4的偶数，所以8423m或8823m，解得52m（舍）或2m答案：2m小炼有话说：（1）本题的亮点在于对272523mmm的变形，在有关整数的问题里，通欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第3页共16页常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m上。（2）本题对823m的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到23m应为奇数，而823Zm，而8的奇因数只有1和1，同样可确定m的值。例2：若数列12nan，求,mk（*,mkN）的值，使得1265mmmmkaaaa.引申探究：若将(1)中1265mmmmkaaaa改成1265mmmmkaaaa300，试求,mk（*,mkN）的值.思路：由题意知65)1)(12(1kkmaaaknnn，由*,mkN知，2112kkm，所以511312kkm，故45km.引申探究：由题意知300)1)(12(1kkmaaaknnn，由*,mkN知，2112kkm，且112kkm与同为奇数或同为偶数，又300)1)(12(kkm，故112kkm与同为偶数，所以3215521252153212kkmorkkm解得524911kmorkm.例3：已知数列na的前n项和为nS，且211122nSnnnN（1）求数列na的通项公式（2）设(21,)313(2,)nnankkNfnankkN，是否存在mN，使得155fmfm成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第4页共16页解：（1）221111111,1122222nnSnnSnnn152nnnaSSnn①11111622aS符合①5nan（2）思路：fn按照奇偶分段，所以要确定15,mm的奇偶。观察可发现无论m为何值，15,mm均为一奇一偶，所以只需要对m的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的m即可解：5,2131332,2nnannkfnannk当m为奇数时，15m为偶数155315255fmfmmm，解得：11m当m为偶数时，15m为奇数155155532fmfmmm，解得：57m（舍）综上所述：11m例4：已知各项均为整数的数列na满足371,4aa，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列na的通项公式（2）求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa解：（1）设前6项的公差为d，则5363212,414aaddaadd567,,aaa成等比数列，2265741421aaadd解得：1d6n时，334naandn欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第5页共16页561,2aa，则2q7n时，6562nnnaaq54,62,7nnnnan（2）思路：由于数列na分为两部分，当5n时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，5n后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的m。解：由（1）可得：:3,2,1,0,1,2,4,8,na则当1m时，1231236aaaaaa当2m时，2342342342342,0,aaaaaaaaaaaa当3m时，3453450aaaaaa当4m时，4564564564563,0,aaaaaaaaaaaa当5m时，假设存在m，使得1212mmmmmmaaaaaa则有531221242mm即：5312277227=2mmm5m273m2732287m，从而277=2m无解5m时，不存在这样的m，使得1212mmmmmmaaaaaa综上所述：1m或3m例5：已知数列na的前n项和为nS，且满足12a，1320nnaS（*nN）.（1）求2a，3a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）是否存在整数对(,)mn，使得等式248nnamam成立？若存在，请求出所有满欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第6页共16页足条件的(,)mn；若不存在，请说明理由.解：（1）在1320nnaS中，令1n，得：21320aS21123234aSa再令2n，得：3233208aSa（2）由1320nnaS①，可得：13202nnaSn②①②可得：113022nnnnnaaaaanna从第二项开始成等比关系，公比为222222nnnaan而12a符合上式2nna（3）思路：所成立的等式为22248nnmm，考虑将,mn进行分离得到：2288242424nnnnm，再利用,mn为整数可得824n为整数，从而求出符合条件的n，再求出m。解：由（2）得：22248nnmm22282168824242424nnnnnnmmZ且24nZ只需824nZ，即241,2,4,8n经计算可得：1,2,3n时，824nZ欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第7页共16页解得：123,,2114nnnmmm共有三组符合题意：2,1,1,2,14,3小炼有话说：（1）在第（2）问中，要注意n的取值范围变化，并且要把n所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解例6：已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS是其前n项和，且满足221nnaS，令11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT（1）求数列na的通项公式及nT（2）是否存在正整数,1mnmn，使得1,,mnTTT成等比数列？若存在，求出所有的,mn的值；若不存在，请说明理由。解：（1）12121212nnaaSn1212nnaaa2121nnSna221nnaS且0na21nan1111212122121nbnnnn11111111112335212122121nnTnnnn（2）思路：先假定存在满足条件的,mn，则由21mnTTT可得22132121mnnm，无欢迎关注微信公众号：gksxlt内有独家培优卷、冲刺卷、及考试最新上海高考资讯第8页共16页法直接得到不等关系，考虑变形等式：222163mnmn，分离参数可得：24132mmn，以30n为突破口可解出m的范围661,122，从而确定m的值后即可求出n解：假设存在,1mnmn，则21mnTTT即222222211634416332121mmnnmmnnmnmnm241346mmn即241320mmn222410mmm解得：661122m2m，代入可得：234112224n，解得：12n存在2,12mn，使得1,,mnTTT成等比数列例7：已知各项均为正数的数列na满足：13a，且2211210,nnnnnaaaaanN（1）设1nnnbaa，求数列nb的通项公式（2）设2221222212111,nnnnSaaaTaaa，求nnST，并确定最小正整数n，使得nnST为整数解：（1）22221111210121nnnnnnnnnaaaaaaaaa22111111111222nnnn